Division : définition de division


Division : définition du Wiktionnaire

Nom commun

division \di.vi.zjɔ̃\ féminin

  1. Action de diviser.
    • La division d’un entrepôt en plusieurs appartements.
    1. (Arithmétique) Partage arithmétique.
      • Le but de ces programmes, évidemment, est d'être si nazes et inregardables que les enfants préféreraient être encore en classe. Ainsi, quand ils doivent se lever le lendemain matin et se coltiner des divisions complexes, ils se diront : Au moins, je ne suis pas entrain de regarder ces affreux films à la maison. — (Brandon Sanderson, Alcatraz contre les traîtres de Nalhalla, tome 3 de la série "Alcatraz", traduit de l'anglais (États-Unis) par Juliette Saumade, Éditions Mango, 2013, chap. 10)
      • La Division euclidienne. — La division d’un nombre par un autre.
    2. (Biologie) Action de se diviser.
      • La méiose est un type de division cellulaire.
    3. (Finance) Fractionnement d’une action par division de son nominal.
    4. (Apiculture) Formation artificielle d’une colonie, par isolation d’une partie de ses abeilles et de ses rayons dans une nouvelle ruche afin de simuler un essaimage.
  2. Graduation, marque qui divise.
    • Les cadrans bleus, mauves et rouges des instruments avec leurs divisions de radium forment curieusement le décor d'une scène de féerie enfantine aux teintes vives. — (Jean Mermoz, Mes Vols, p. 133, Flammarion, 1937)
    • Les divisions du thermomètre sont graduées en degrés Celsius.
  3. Élément d’un ensemble divisé.
    • Tel qu'il est aujourd'hui installé, l’asile de la rue Lecourbe peut recevoir 200 enfants. Il comprend trois divisions : le grands, les petits et les infirmes. — (Paul-Gabriel d’Haussonville, L’Enfance à Paris, 1879, Calmann-Lévy, p. 161)
    • Le département est une division administrative du territoire français.
  4. (Administration) Direction opérationnelle.
    • La division du personnel.
    1. (Militaire) Bureau d’un état-major qui traite les questions militaires d’une espèce particulière, telles que personnel, renseignement, plans et instructions, ou approvisionnements et évacuation.
  5. (Militaire) Unité ou détachement tactique qui possède organiquement les armes et les services nécessaires à un combat d’une certaine durée ; elle se situe entre le corps d’armée et la brigade (ou le régiment)[1].
    • À la nuit, on apprit que la division de Forton avait eu un engagement sérieux, du côté de Mars-la-Tour. — (Paul et Victor Margueritte, Le Désastre, p.184, 86e éd., Plon-Nourrit & Cie)
    • Le 17 octobre, seulement, Le Caire comprit que les Israéliens continuaient à renforcer leur tête de pont ; à cette date, un pont flottant était déjà en place et une division au grand complet avait pu traverser. — (Edward N. Luttwak, Le grand livre de la stratégie: de la paix et de la guerre, Odile Jacob, 2002, page 381)
    • Division navale, ensemble de navires groupés sous un même commandement opérationnel ou logistique, unité tactique d’une escadrille aéronavale, comprenant plusieurs sections.
    • Division aérienne, groupement aérien de combat consistant normalement en deux groupes ou plus avec les unités des services appropriés.
    • Les groupes de combat d’une division aérienne comprennent normalement des unités de type similaire.
  6. Désunion, opposition.
    • Je ne voudrais pas semer la division dans les esprits.
  7. (Économie) Distribution entre plusieurs personnes ou catégories de personnes.
    • La division du travail.
  8. (Biologie) Deuxième rang phylogénétique de la hiérarchie codifiée de la taxinomie.
    • Exemple d’utilisation manquant. (Ajouter)
  9. (Typographie) Trait d'union utilisé pour marquer la coupure d’un mot en fin de ligne — (Unicode : ‐ (U+2010) ou plus souvent - (U+002D)).
    • La division, ‐, est le signe de la coupure des mots par syllabes à la fin des lignes. Elle n’est autre d’ailleurs que le trait d’union grammatical, auquel, par une anomalie qu’il est bon de remarquer, elle donne le plus souvent son nom dans le langage typographique. — (Gustave Daupeley, Le compositeur et le correcteur typographes, 1880, p. 31)
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Division : définition du Dictionnaire de l’Académie française, huitième édition (1932-1935)

DIVISION. n. f.
Action de diviser ou Résultat de cette action. La division des parties d'un corps. La division d'un régiment en bataillons, d'un bataillon en compagnies. Les experts déclarèrent que l'immeuble n'était pas susceptible de division. Division d'un livre par chapitres. La nouvelle division territoriale. La division de la France en départements. La division d'une ville par arrondissements. La division de la circonférence en degrés. En termes d'Économie politique, Division du travail, Distribution du travail entre plusieurs personnes ou catégories de personnes, de telle sorte que chacune n'en fasse qu'une partie et fasse toujours la même. Il se dit particulièrement, dans les assemblées délibérantes, de la Séparation que l'on fait des propositions contenues dans une motion, dans une question, dans un amendement, pour les discuter séparément et les adopter ou les rejeter l'une après l'autre. On a demandé la division de la question, de l'amendement, ou simplement la division. Scrutin par division. En termes de Jurisprudence, Bénéfice de division, Exception par laquelle une caution poursuivie pour toute la dette, quoiqu'il y ait d'autres cautions, oppose qu'elle ne peut être recherchée que pour sa part et portion. En termes de Procédure, Sans division ni discussion, Solidairement l'un pour l'autre, et un seul pour le tout. Il désigne aussi, dans une acception particulière, Celle des quatre premières règles ou opérations d'arithmétique par laquelle on divise, c'est-à-dire par laquelle on cherche combien de fois un nombre est contenu dans un autre. Faire une division à trois chiffres. Faire la preuve d'une division. Le reste de la division. Il se dit en outre de Chacune des parties d'un tout divisé. Les divisions d'une ligne. Les divisions du mètre sont le décimètre, le centimètre, le millimètre. Marquer des divisions. Les divisions d'un livre. Les divisions d'un territoire. Les divisions sont indiquées, sont marquées sur la carte. Établir des divisions. Division militaire, Cette expression s'est employée pour désigner la Partie du territoire français gouvernée par un officier général pour ce qui concerne l'administration militaire. Il se dit particulièrement, en termes militaires, de Chacun des groupes dont l'ensemble constitue un corps d'armée. Une division se compose de brigades. Général commandant une division. Général de division. La division d'un général. Ce corps fait partie de telle division. En termes de Marine, il se dit également d'un Certain nombre de vaisseaux d'une armée navale, qui sont ordinairement commandés par un officier général. La division navale. Il se dit encore, dans les grandes Administrations, d'un Certain nombre de bureaux placés sous la direction d'un fonctionnaire que l'on nomme Chef de division. La division du contentieux. La division du personnel. En termes de Botanique, il se dit des Parties d'un organe qui est fendu ou partagé naturellement. Les divisions d'un calice. Corolle à cinq divisions. En termes d'Imprimerie, il est synonyme de Tiret, parce que le tiret sert à marquer, à la fin des lignes, qu'un mot est divisé. Il signifie encore figurément Désunion, discorde. Il y a division, de la division entre eux. Mettre la division dans une famille. Semer la division. Fomenter, entretenir la division, les divisions. Des divisions éclatèrent dans cette ville. Divisions intestines.

Division : définition du Littré (1872-1877)

DIVISION (di-vi-zion ; en vers, de quatre syllabes) s. f.
  • 1Opération par laquelle on réduit un corps solide en parties plus ou moins ténues. On trouve, dans l'art et dans la nature, des divisions qui vont infiniment plus loin qu'on ne peut l'imaginer, Rollin, Traité des Ét. liv. VI, art. 3 et 4.

    Terme de minéralogie. Division mécanique, propriété qu'ont un grand nombre de cristaux de se partager dans des directions planes.

    Terme de chirurgie. Séparation fortuite et accidentelle de parties naturellement réunies ; dans ce sens il est synonyme de solution de continuité ; ou séparation méthodique de ces parties opérée par le chirurgien dans des vues de guérison.

    Terme d'imprimerie. Petit tiret qui se met au bout d'une ligne, entre une partie d'un mot et celle qui est rejetée à la ligne suivante.

  • 2Distribution par parties. La division d'une histoire par chapitres. La division de la France en départements. La division de la circonférence en degrés. La division d'un immeuble, d'un héritage. La division d'une somme d'argent.

    Terme d'économie politique. Division du travail, organisation du travail de telle sorte que chaque ouvrier, n'en faisant qu'une seule partie toujours la même, acquière ainsi un grand degré d'habileté. Adam Smith a très ingénieusement remarqué combien ce qu'il a le premier appelé la division du travail, augmente sa puissance productive, J. B. Say, Cours, 1840, t. I, p. 165.

    En général, division du travail, division des opérations industrielles, de manière que chacune soit accomplie par une personne différente. L'essence de la division du travail est que chaque travailleur fasse constamment la même besogne, ID. ib. t. I, p. 178.

    Terme de pratique. Bénéfice de division, exception par laquelle la caution obtient que le créancier divise sa demande entre tous les cofidéjusseurs.

    Sans division ni discussion, solidairement l'un pour l'autre, et un seul pour le tout.

    En langage de corps délibérants, division de la question, de l'article, délibération séparée sur les divers points que présente une question, ou sur les divers paragraphes d'un article.

    Dans le parlement anglais, manière de consulter l'opinion de la chambre, en faisant passer d'un côté de la salle tous les membres qui adoptent la mesure proposée, et de l'autre tous ceux qui la rejettent.

    Scrutin par division, vote individuel, par opposition au vote par assis ou levé.

  • 3Partie divisée, séparée d'un tout. Une division territoriale, administrative. Les divisions du mètre sont le décimètre, le centimètre, le millimètre. Les divisions d'un livre.

    En botanique, division se dit pour segment ou découpure naturelle d'une feuille, lobe d'un calice, d'une corolle. Corolle à cinq divisions.

  • 4 Terme de guerre. Division active, réunion de deux et quelquefois de trois brigades d'infanterie ou de cavalerie, toujours accompagnées d'artillerie, de génie et d'équipages militaires. Général de division. Les soldats de Ney et ceux de la division Gudin, veuve de son général, y étaient rangés sur les cadavres de leurs compagnons et sur ceux des Russes, au milieu d'arbres à demi brisés, sur une terre battue par les pieds des combattants, Ségur, Hist. de Nap. VI, 8.

    Terme de manœuvre. Réunion de deux compagnies ou de deux pelotons. Former les divisions.

    Division militaire, circonscription territoriale composée généralement de plusieurs départements et placée sous le commandement d'un général de division.

  • 5 Terme de marine. Réunion de trois bâtiments de guerre au moins, sous la direction du chef le plus haut en grade ou le plus ancien par date de brevet, si les trois capitaines sont de même grade. Une armée navale se divise en trois escadres, et chaque escadre en trois divisions.

    Chef de division, autrefois capitaine de vaisseau pourvu d'une commission qui lui donnait le droit de commander plusieurs vaisseaux.

    Compagnie de marins organisés militairement.

  • 6 Terme d'administration. Réunion de bureaux sous la direction d'un commis supérieur. Un chef de division.
  • 7Dans un lycée ou un collége, portion d'une même classe placée sous la direction d'un professeur distinct. Les deux divisions de la troisième.
  • 8 Terme de calcul. Opération qui a pour but, connaissant un produit et un de ses facteurs, de trouver l'autre facteur ; et, particulièrement, en arithmétique, opération par laquelle on cherche combien de fois un nombre est contenu dans un autre.
  • 9 Terme de rhétorique. Partie d'un discours qui consiste à diviser en plusieurs points tout ce que l'on a à dire. La division rentre dans les parties destinées à instruire ; elle en est souvent la première.
  • 10 Fig. Désunion, discorde. Il arriva de grandes divisions parmi les Phrygiens, Perrot D'Ablancourt, Arrien, liv. II, dans RICHELET. L'abondance, augmentant les forces, engendrait les divisions, Perrot D'Ablancourt, Tacite, liv. I, dans RICHELET. Et leur division que je vois à regret, Dans mon esprit charmé jette un plaisir secret, Corneille, Cid, II, 5. Et rendre un calme heureux à nos divisions, Corneille, Sertor. III, 4. La division se mit dans la nouvelle réforme, Bossuet, Var. 2. Quel respect n'avait-elle pas pour le souverain pontife vicaire de Jésus-Christ et pour tout l'ordre ecclésiastique ? qui pourrait dire combien de larmes lui ont coûté ces divisions toujours trop longues et dont on ne peut demander la fin avec trop de gémissements ! le nom même et l'ombre de division faisait horreur à la reine, comme à toute âme pieuse, Bossuet, Marie-Thér. Les deux Gracques, en flattant le peuple, commencèrent les divisions qui ne finirent qu'avec la république, Bossuet, Hist. I, 9. Jeter la division parmi leurs ennemis, Bossuet, ib. III, 6. Cependant et ma haine et ses prétentions Sont les moindres sujets de nos divisions, Racine, Mithr. I, 1. Il y a entre les sciences et les richesses une ancienne et irréconciliable division, Fontenelle, Rolle. Et laissant Rome heureuse et sans divisions, Voltaire, M. de César, I, 3. Il est trop vrai que les divisions Ont régné trop longtemps entre nos deux maisons, Voltaire, Tancr. I, 1. Différents dans leurs genres, mais placés dans la même carrière, rivaux sans divisions, concurrents dignes de s'estimer… les Corneille, les Bossuet, les Racine, les Fénelon…, Gresset, Disc. de réception à l'Acad.

HISTORIQUE

XIIe s. Faiz fu ses heumes [son haume] par grant division [habileté], Ronc. p. 51. Qu'il nous en fasse voire division [vraie séparation], ib. p. 155. Devorer le verrez [aux lions] par mil divisions, ib. p. 200. Gardez [ayez soin] que li message [les messagers] soient mis en prison ; Nous en ferons justice à no devision [à notre volonté], Sax. XX.

XIIIe s. Se feme requiert que division soit fete des biens son mari, du vivant du mari, on ne doit pas obeir à sa requeste, Beaumanoir, LVII, 2. Se tu as bien devisé, multeplie cele devision ; et quant tu l'averas multeplié…, Comput, f° 15.

XIVe s. Le samedi devant la division des apostres, l'an MCCCXXI, Bibl. des Chartes, 4e série, t. III, p. 272.

XVIe s. L'esperance que ceste licence augmenteroit les parts et les brigues de la division et empescheroit le peuple de se reünir et de se fortifier contre lui par leur concorde et unanime intelligence, Montaigne, III, 84.

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Division : définition du Encyclopédie, 1re édition (1751)

DIVISION, subst. fémin. (Logique.) l’utilité principale de la division, est de faire voir commodément à l’esprit dans les parties, ce qu’il ne pourroit voir qu’avec confusion & avec peine, à cause de la trop grande étendue dans l’objet total. Il se rencontre encore dans la division une autre utilité, c’est de faire connoître tellement un objet par chacune de ses diverses parties, que l’on n’attribue pas au tout, ce qui ne convient qu’à quelqu’une de ses parties.

On dispute de nos jours si la musique italienne n’est pas préférable à la musique françoise. On éclairciroit la question, & par conséquent on la résoudroit, si l’on divisoit ou si l’on distinguoit (car la distinction est une espece de division mentale) ; si, dis-je, l’on divisoit la Musique dans ses justes parties, comme sont la composition & l’exécution.

A l’égard de la composition, il faudroit y distinguer la science de l’harmonie, d’avec la douceur, & la suite du chant. Par le premier de ces deux endroits, les uns pourroient être préférés, & les autres par le second.

De plus, il faut distinguer l’exécution, par rapport aux voix & aux instrumens : les uns pourroient avoir de plus belles voix, & les autres mieux toucher les instrumens, &c.

C’est ainsi qu’en divisant une question en plusieurs autres questions particulieres, on vient plus aisément à bout de la resoudre. Ainsi dans l’exemple proposé, après avoir distingué les différentes parties de la Musique, les différentes sortes d’exécution par les instrumens & par les voix, les différentes sortes de voix, &c. on saura plus aisément si l’avantage est tout d’un côté, ou s’il doit être partagé.

Pareil inconvénient se rencontre souvent dans les disputes des gens de lettres. Pour savoir si les anciens auteurs l’emportent sur les modernes, qu’on divise ces auteurs dans leurs classes différentes, & la question sera bien-tôt éclaircie. On trouvera des poëmes épiques & des histoires qui valent mieux que les nôtres ; des poëtes satyriques qui valent au moins les nôtres ; mais des poëtes tragiques & comiques qui sont au-dessous de Corneille & de Moliere.

Il se trouve presque toûjours dans les discours des hommes plusieurs occasions semblables, ou, pour parler & penser juste, il faudroit avoir recours à la division ou distinction des choses. La plûpart des expressions signifiant des objets composés de différentes parties, l’on dit vrai par rapport à quelques-unes, & non point par rapport à quelques-autres. On ne devroit presque jamais absolument, & sans distinction, énoncer rien d’aucun objet complexe. Quand on dit de quelqu’un, il est homme d’esprit, il est habile ; on pourroit ajoûter, il l’est par rapport à certaines choses : car par rapport à d’autres il ne l’est point. Tel seroit l’usage de la division ou distinction, si l’on ne vouloit penser ni juger qu’avec justesse. Logique du P. Buffier.

Divisïon, s. f. en Arithmétique, c’est la derniere des quatre grandes regles de cette Science : elle consiste à déterminer combien de fois une plus petite quantité est contenue dans une plus grande. Voyez Arithmétique.

Au fond la division n’est qu’une méthode abrégée de soustraction, son effet se réduisant à ôter un plus petit nombre d’un plus grand autant de fois qu’il est possible, c’est-à-dire autant de fois qu’il y est contenu : c’est pourquoi on considere principalement trois nombres dans cette opération : 1°. celui que l’on donne à diviser, appellé dividende : 2°. celui par lequel le dividende doit être divisé ; on l’appelle diviseur : 3°. celui qui exprime combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende ; c’est le nombre qui résulte de la division du dividende par le diviseur, & c’est ce que l’on appelle quotient, &c.

Il y a différentes manieres de faire la division ; l’angloise, la flamande, l’italienne, l’espagnole, l’allemande, l’indienne, &c. toutes également justes, en ce qu’elles font trouver le quotient avec la même certitude, & qu’elles ne different que dans la maniere d’arranger & de disposer les nombres.

Cette opération se divise en division numérique & division algébrique : dans la numérique il y a division d’entiers & division de fractions.

La division ordinaire se fait en cherchant combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Si le dividende a un plus grand nombre de chiffres que le diviseur, on prend le dividende par parties, en commençant de la gauche vers la droite, & l’on cherche combien de fois le diviseur se trouve dans chacune de ces parties.

Par exemple, on propose de diviser 6759 par 3.

Pour résoudre cette question, voici comment il faut s’y prendre : arrangez les termes ainsi que vous le voyez dans l’opération.

Opérations.
Dividende,
6. 7. 5. 9. 3 . . . . . . . diviseur
6. 2 2 5 3 . . . quotient
6. 7
6 6
1 5
1 5
1. 5. 9
9
9.

Après quoi mettant un point sous le premier chiffre 6 du dividende, afin de déterminer le premier membre de la division, vous direz : en 6 combien de fois 3 ? il est évident qu’il y est deux fois ; écrivez 2 au quotient sous la ligne au-dessus de laquelle est placé le diviseur 3 ; & pour faire voir que 3 est réellement contenu deux fois dans 6, vous direz, deux fois 3 font 6, que vous écrirez sous le 6 du dividende ; & soustrayant 6 de 6, il ne reste rien ; ce qui fait voir que 3 est contenu exactement deux fois dans 6. Ensuite posant un point sous le chiffre 7 du dividende, vous le descendrez au-dessous de la ligne, & vous direz, en 7 combien de fois 3 ? il y est deux ; écrivez encore 2 au quotient, & multipliant 3 par 2, vous aurez 6 que vous placerez sous 7 ; vous retrancherez 6 de 7, & il vous restera 1, à côté duquel vous descendrez le chiffre 5 du dividende, pour avoir 15 à diviser par 3 : ainsi vous direz, en 15 combien de fois 3 ? il y est précisément cinq fois ; vous écrirez donc 5 au quotient, & multipliant 3 par 5 vous aurez 15, que vous soustrayerez de 15, & il ne restera rien : enfin descendez 9 (ayant toûjours soin de mettre un point sous le chiffre que l’on descend, afin de savoir toûjours sur quels chiffres l’on a operé), vous direz, en 9 combien de fois 3 ? il y est exactement trois fois ; mettez donc 3 au quotient : en effet multipliant 3 par 3, vous trouverez 9, lequel retranché de 9 ne laisse aucun reste, & l’opération est achevée, puisque tous les chiffres ont été divisés par 3, ce qui donne 2253 pour quotient, c’est-à-dire que 3 est contenu 2253 fois dans 6759, ce que l’on peut prouver en multipliant le quotient 2253 par le diviseur 3 ; car si ce produit est égal au dividende 6759, on aura une preuve que l’opération est exacte : effectivement, s’il est vrai que le diviseur 3 soit contenu exactement 2253 fois dans le dividende 6759, ainsi que le quotient l’annonce, en prenant le nombre 3 2253 fois, on doit avoir un produit égal à 6759 : on voit donc que l’on peut prouver la division par la multiplication.

Quand le diviseur contient plusieurs chiffres, la division est plus difficile & un peu tâtonneuse ; mais ce tâtonnement a des regles.

Exemple. Il s’agit de diviser 32035 par 469.

Vous disposerez les termes comme ci-dessus.

Opération.
Dividende,
3. 2. 0. 3. 5. 4 6 9
2. 8. 1. 4. 6 8 9abc 1 4 3
2. 3. 8. 9. 5. 4 6 9
3 7 5 2
2. 1 4 3

Les trois chiffres du diviseur 469 n’étant pas contenus dans les trois premiers chiffres 320 du dividende, on en prendra quatre, & l’on aura 3203 pour premier membre de la division : ainsi l’on dira en 32 combien de fois 4 ? il y est justement huit fois ; mais on n’écrira pas d’abord ce nombre 8 au quotient ; car en multipliant 469 par 8, on auroit le produit 3752 plus grand que 3203 ; le diviseur 469 n’est donc pas compris huit fois dans le premier membre de la division 3203. Supposons qu’il y soit contenu sept fois ; si nous en faisons l’essai en multipliant 469 par 7, nous trouverons le produit 3283, qui est encore plus grand que 3203 : mais on peut écrire 6 au quotient. Multiplions donc le diviseur 469 par ce chiffre 6 ; mettons-en le produit 2814 sous 3203, & après avoir soustrait 2814 de 3203, il reste 389 dixaines, à côté desquelles on descendra les cinq unités du dividende, afin d’avoir 3895 unités à diviser par 469. Comme il y a au dividende 3895 un chiffre de plus qu’au diviseur 469, on demandera combien de fois le premier chiffre 4 du diviseur est contenu dans les deux premiers chiffres 38 du dividende (ce que l’on doit observer généralement toutes les fois qu’un membre de la division a un chiffre de plus que le diviseur) ; on dira donc en 38 combien de fois 4 ? il y est bien neuf fois ; supposant donc 9, on multipliera le diviseur 469 par 9, & le produit 4221 étant plus grand que 3895, c’est une preuve que le diviseur 469 n’est pas compris neuf fois dans le dividende 3895 : on écrira donc 8 au quotient, & l’on multipliera par ce nombre le diviseur 469 pour avoir le produit 3752, que l’on retranchera du dividende 3895 ; il restera 143 unités qui ne peuvent plus se diviser en cette qualité par 469 : c’est pourquoi si on ne veut pas pousser le calcul plus loin, on écrira à la suite du quotient 68 le reste 143, sous lequel on posera 469, en séparant ces deux nombres par une ligne en forme de fraction. Mais en supposant que 143 signifient 143 livres, on réduira ces livres en sols en les multipliant par 20, ce qui produira 2860 sols, que l’on divisera toûjours par 469 pour avoir 6 sols, & il restera 46 sols, dont on fera des deniers en multipliant 46 par 12 ; ce qui produira 552 deniers, que l’on divisera encore par 469 pour avoir 1 denier, & pour reste 83 deniers, que l’on écrira à la suite de 1 denier sous cette forme , ce qui signifie qu’il reste encore 83 deniers à partager en 469 parties ; mais on ne pousse pas l’opération plus loin, parce que le commerce n’admet point en France de monnoies plus petites que le denier.

Remarquez 1°. qu’après avoir déterminé le premier membre de la division qui apporte un chiffre au quotient, tous les autres chiffres du dividende qui suivent ce premier membre, doivent en fournir chacun un au quotient : ainsi l’on peut savoir des le commencement de l’opération combien le quotient doit avoir de chiffres.

2°. L’opération sur le premier membre étant achevée, si après avoir descendu un chiffre on s’apperçoit que le diviseur entier n’est pas contenu dans ce nouveau membre du dividende, on mettra 0 au quotient, & l’on descendra un nouveau chiffre ; & s’il arrivoit que le diviseur ne fût pas encore contenu dans ce membre ainsi augmenté, on mettroit encore un o au quotient ; & ainsi de suite jusqu’à ce que le diviseur fût enfin compris dans le membre sur lequel on opere.

3°. On ne doit jamais mettre au quotient un nombre plus grand que 9.

4°. Si après avoir fait la soustraction on trouvoit un reste égal au diviseur, ou plus grand, ce seroit un signe que le nombre que l’on a mis au quotient n’est pas assez grand ; il faudroit l’augmenter : afin donc qu’un chiffre mis au quotient soit légitime, il faut que le produit de ce chiffre par le diviseur ne soit pas plus grand que le membre divisé, ni qu’après la soustraction il y ait un reste égal au diviseur ou plus grand. Si le premier cas avoit lieu, on diminueroit le chiffre du quotient ; & dans le second cas on l’augmenteroit.

5°. Quand on commence cette opération, il faut d’abord prendre autant de chiffres dans le dividende qu’il y en a dans le diviseur : mais si l’on remarque que les chiffres du diviseur ne sont pas compris dans ceux du dividende pris en pareil nombre, alors on augmentera d’un chiffre le premier membre de la division : & en ce cas on demandera combien de fois le premier chiffre du diviseur est contenu dans les deux premiers chiffres du membre à diviser : on écrira ce nombre au quotient, après avoir essayé s’il n’est pas trop grand ; car il ne sauroit jamais être trop petit.

La théorie de tous ces préceptes est exactement démontrée dans les institutions de Géométrie, imprimées à Paris chez Debure l’ainé en 1746 ; rien n’est plus propre à faire apprendre une science avec promptitude & solidité, que la connoissance des raisons sur lesquelles la pratique est fondée.

Quant à la division des fractions vulgaires, des fractions décimales, & à la division de proportion, voyez Fraction, Décimal, Proportion

La division algébrique se fait précisément de la même maniere que la division numérique. Soit que l’on agisse sur des monomes ou sur des polynomes, la regle des signes + & - est la même que celle de la multiplication, voyez Multiplication. Les coefficiens se divisent comme dans l’Arithmétique, voyez Coefficient. Pour les quantités algébriques, on fait disparoître au dividende les lettres qui lui sont communes avec le diviseur, & l’on écrit le reste au quotient. Si le diviseur n’a rien de commun avec le dividende, on écrit le dividende au-dessus d’une petite ligne horisontale, sous laquelle on pose le diviseur, & la division algébrique est faite.

Soit, par exemple, 12 bcd à diviser par 3 d : disposez ces quantités comme dans la division arithmétique.


Opération.
Dividende,
+ 12 b c d + 3 d . . . diviseur
+ 4 bc . . . quotient

Et dites : + divisé par + = +, écrivez + au quotient sous la ligne : ensuite 12 divisé par 3 = 4, posez 4 au quotient ; enfin bcd divisé par d = b c, que vous écrirez au quotient à la suite du coefficient 4. En supprimant, comme vous voyez, du dividende bcd la lettre d qui est commune au diviseur 3 d, on écrit au quotient le reste bc du dividende ; & pour faire voir que + 4 bc est le vrai quotient, on n’a qu’à multiplier + 3 d par + 4 bc, c’est-à-dire le diviseur par le quotient, & l’on retrouvera le dividende + 12 bcd ; ce qui prouve que la division est juste. Voyez Multiplication.

Divisions.

Opération.
+ 15 a c t - 5 a t
- 3 c

Disons donc : + divisé par-=- ; 15 divisé par 5 donne 3 ; act divisé par a t = c. Le quotient est donc -3 c ; car en multipliant le diviseur-5 at par le quotient-3 c, on a le dividende + 15 act, ce qui prouve la justesse de l’opération.

Propose-t-on de diviser par + ?

Opération.

On dira :-divisé par + =- ; 18 divisé par 3 = 6 ; divisé par  : ainsi le quotient est -6 a b2 ; ce que l’on prouve en multipliant le diviseur par le quotient , puisque cette multiplication redonne le dividende '.

Enfin si l’on veut diviser par .

Opération.
On dira-divisé par-= +, ensuite 24 divisé par

8 = 3 ; enfin divisé par : ensorte que le quotient de cette division est  ; car le diviseur multiplié par le quotient + , redonne le dividende .

On exprime aussi quelquefois une division algébrique en forme de fraction ; ainsi abc divisé par ac s’écrit , en ôtant ce qui se détruit, c’est-à-dire en supprimant les lettres communes au numérateur & au dénominateur.

Quoiqu’il soit vrai en général que l’on doive supprimer les lettres communes au dividende & au diviseur, il ne faut pourtant pas se persuader que  ; car le quotient de cette division = 1. Toutes les lettres disparoissent véritablement, ainsi que le prescrit la regle ; mais il faut toûjours supposer qu’une grandeur algébrique est précédée du coefficient 1 ; ainsi .

En effet diviser abc par abc, c’est déterminer combien de fois abc est contenu dans abc. Or toute grandeur est contenue une fois dans elle-même ; ainsi  ; donc en général une quantité quelconque divisée par elle-même donne toûjours 1 au quotient.

On indique encore plus volontiers la division algébrique sous la forme d’une fraction, quand le dividende & le diviseur n’ont rien de commun, ou qu’ils ont seulement quelques quantités communes. Ainsi 3 ac divisé par  ; de même 6 dt à diviser par , en chassant la quantité 2 d, qui est un produisant ou un commun facteur au dividende & au diviseur.

Pour diviser le polynome par , on arrangera les termes, comme on le voit dans l’opération, selon les degrés de la lettre a qui paroît dominer.

Opération.
- + -
- + -
- +
+ -
0 0

Et divisant le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur, on écrit au quotient, par lequel on multiplie tout le diviseur. Le produit qui en résulte est retranché du dividende, & l’on continue à diviser le reste, après avoir descendu le terme du dividende, le quotient total doit être  : ce que l’on vérifiera en multipliant ce quotient par le diviseur ,dont le produit doit redonner le dividende.

S’il s’agit de diviser par  ; on ordonnera les termes du dividende & du diviseur, suivant les degrés de la lettre x. Comme il y a deux termes au dividende où cette lettre est élevée au même degré, on pourra écrire ces deux termes l’un sous l’autre, de même que les deux termes où la lettre d’origine ne se trouve pas.

Opération.
+ - - - -
- + - -
- + -
+ -
-

En divisant donc le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur, le quotient est par lequel on multiplie tout le diviseur, ce qui donne , que l’on écrit sous le dividende, en changeant les signes de ce produit pour en faire la soustraction ou la réduction, comme on le voit exécuté dans l’opération : cette réduction étant faite, on opere sur le reste , en divisant toûjours le premier terme de ce reste par le premier terme du diviseur, dont le quotient est-3 s, par lequel on multiplie tout le diviseur pour en retrancher le produit de ce qui est resté après la premiere division, & l’on a un second reste , lequel n’ayant point de facteurs communs avec le diviseur, fait voir que la division ne sauroit se faire exactement : ainsi on le disposera à la suite du quotient, au-dessus d’une petite ligne, sous laquelle on écrira le diviseur.

Pour la division par les logarithmes, voyez Logarithme.

La division géométrique regarde les lignes droites, & est utile dans la construction des problèmes plans ; par exemple, un rectangle étant donné, ainsi qu’une ligne droite, trouver une autre ligne droite telle que le rectangle formé par cette ligne & la droite donnée, soit égal au rectangle donné.

On résoud ces sortes de problèmes par la regle de trois, en disant : la ligne donnée est à un côté du rectangle donné, comme l’autre côté de ce rectangle est à la ligne cherchée.

C’est ainsi que M. Descartes explique le moyen de faire une division géométrique avec la regle & le compas.

Supposons que la ligne ac = 6 (Pl. de Géomét. figure 27.) soit à diviser par la ligne ad = 3. Prenez un angle à volonté : portez ensuite le diviseur ad = 3 sur l’un des còtés de cet angle, en partant du sommet, & prenez tout de suite sur le même côté au = 1 ; après cela portez sur l’autre côté de l’angle, en partant toûjours du sommet, le dividende ac = 6, & joignez les points d, c par la ligne dc ; après quoi par le point u vous tirerez la ligne ub parallelement à dc, laquelle déterminera la ligne ab, qui sera le quotient cherché ; car à cause des triangles semblables a d c, a u b, vous aurez a d : a c :: a u : a b ou a c. a d :: a b. a u. Donc . Donc la ligne ab exprime la division de ac par ad ; puisque le dividende ac est au diviseur ad, comme le quotient ab est à l’unité. (E)

Dans la division, le dividende est au diviseur comme le quotient est à l’unité ; ou le dividende est au quotient, comme le diviseur est à l’unité : c’est-là la vraie notion de la division, & la plus générale qu’on puisse en donner, comme on s’en convaincra par ce que nous allons dire. Remarquons d’abord que ces deux proportions qui paroissent les mêmes, ne le sont cependant pas, absolument parlant ; car le dividende est toûjours censé un nombre concret (voy. Concret) ; & le diviseur peut être ou un nombre concret ou un nombre abstrait. Dans le premier cas, le quotient sera un nombre abstrait, & c’est la premiere proportion qui a lieu. Par exemple, si je divise 6 sous (nombre concret) par 2 sous (nombre concret), le quotient est un nombre abstrait 3, c’est-à-dire qui indique, non un nombre de sous, mais le nombre de fois que le dividende contient le diviseur, & on a cette proportion ; 6 sous est à 2 sous, comme le nombre abstrait 3 est à l’unité abstraite 1 : on ne pourroit pas dire 6 sous (dividende & nombre concret) est au quotient 3 (nombre abstrait), comme 2 sous (diviseur & nombre concret) est à 1 (nombre abstrait) ; du moins cette proportion ne porteroit aucune idée nette dans l’esprit, parce qu’un nombre concret & un nombre abstrait étant de différens genres, ne peuvent être comparés, & qu’ainsi il ne peut y avoir entr’eux de rapport, du moins que très-improprement.

Dans le second cas, c’est-à-dire lorsque le diviseur est un nombre abstrait, le quotient est un nombre concret ; & c’est la seconde proportion qui a lieu : ainsi divisant 6 sous par 3 (nombre abstrait), le quotient est 2 sous (nombre concret), & l’on dit : 6 sous est à 2 sous (quotient), comme 3 (diviseur) est à l’unité. Remarquez que dans les deux proportions l’unité est toûjours un nombre abstrait ; ainsi on peut présenter la division sous deux points de vûe différens : c’est chercher combien de fois une quantité est contenue dans une autre de même genre, comme dans le premier cas ; ou bien c’est chercher une quantité qui soit contenue un nombre de fois donné, dans une quantité donnée du même genre.

Nous nous servons ici du mot être contenu, parce que nous supposons jusqu’à présent que le diviseur soit plus petit que le dividende, & même que la division se fasse exactement & sans reste. Mais, 1° si le diviseur est plus petit, & que la division ne se fasse pas sans reste, la proportion entre le dividende, le diviseur, le quotient & l’unité, proportion qui constitue la division, n’en a pas moins lieu ; ainsi dans l’exemple ci-dessus, supposons qu’on divise 32035 par 469 toises, le quotient , indique que 469 toises sont contenues dans 32035, comme l’unité est contenue dans le nombre mixte  ; c’est-à-dire que 409 toises sont contenues dans 32035 toises, d’abord 68 fois entierement, & qu’ensuite il y a un reste de toises, qui est au diviseur 469 toises, comme le nombre abstrait 143, est au nombre abstrait 469. Supposons à-présent qu’on divise 32035 toises, non par 469 toises, mais par le nombre abstrait 469 ; c’est-à-dire qu’on cherche la 469e partie de 32035, le quotient indique d’abord 68 toises ; & que de plus si on divise une toise en 469 parties égales, & qu’on en prenne 143, ces 143 parties ajoûtées aux 68 toises completes, donneront la 469e partie exacte de 32035 toises.

2°. Si le diviseur est plus petit que le dividende, alors le quotient (suivant la proportion qui constitue la division) sera plus petit que l’unité, ou qu’une fraction d’unité. Ainsi si on divise 3 toises par 12 toises, c’est chercher, non combien 3 toises contiennent, mais combien elles sont contenues dans 12 toises ; & le quotient marquera que 3 toises sont un quart de 12 toises. Si on divise 3 toises par 12, c’est-à-dire si on cherche la 12e partie de 3 toises, on trouvera , c’est-à-dire 1 quart de toise ; en effet, 1 quart de toise pris 12 fois, fait 3 toises.

Si le diviseur est une fraction plus petite que l’unité, le quotient sera un nombre plus grand que le dividende ; car alors le dividende doit être plus petit que le quotient. Cela paroît d’abord paradoxe ; mais en y réfléchissant un peu, on observera que si le quotient est plus petit que le dividende dans la plûpart des divisions ordinaires, c’est que le diviseur y est plus grand que l’unité. Rendez le diviseur égal à l’unité, le quotient sera égal au dividende ; rendez-le plus petit, le quotient sera plus grand que le dividende. Ainsi, qu’est-ce que diviser 12 toises par  ? c’est chercher un nombre de toises qui soit à 12 toises comme l’unité est à , c’est-à-dire comme 3 est à 1 : donc le quotient sera 12 toises prises trois fois, c’est-à-dire 36 toises. De même diviser 12 toises par de toise, c’est chercher un nombre qui soit à l’unité comme 12 toises est à de toise ; or 12 toises contiennent 36 fois de toise, dont le quotient est 36. C’est ainsi qu’en réduisant les opérations à des notions claires, toutes les difficultés s’évanouissent. Il ne peut y en avoir ici, dès qu’on prendra la notion générale de la division, telle que nous l’avons donnée. Mais on se trouvera embarrassé lorsqu’on se bornera à la notion imparfaite & incomplete de la division qu’on trouve dans la plûpart des arithméticiens ; savoir, que la division consiste à chercher combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Nous parlerons plus au long au mot Fraction, de la division, dans le cas où le diviseur est une fraction, le dividende étant un nombre quelconque, entier ou rompu.

Bornons-nous présentement aux regles de la division ordinaire, & tâchons d’en donner en peu de mots une idée bien nette. Nous prendrons pour exemple celui même qui a été donné ci-dessus ; & les raisonnemens que nous ferons sur celui-là, pourront sans aucune peine s’appliquer à d’autres.

On propose de diviser 32035 par 469, c’est-à-dire de savoir combien de fois 469 est contenu dans 32035. Je vois d’abord que le dividende contient jusqu’à des dixaines de mille, & le diviseur des centaines ; ainsi, comme dix mille contient cent fois cent, il peut se faire que le diviseur renferme des centaines, mais il ne peut pas aller plus haut. Il faut donc savoir combien de centaines de fois, de dixaines de fois, & d’unités de fois il est contenu. Pour savoir combien de centaines de fois le dividende contient le diviseur, je prends d’abord de la gauche vers la droite autant de chiffres dans le dividende que dans le diviseur, c’est-à-dire que je prends la partie du dividende 320, qui représente réellement 32000, en négligeant pour un moment les deux derniers chiffres 35. Je divise 32000 par 469, pour voir combien 469 est contenu de centaines de fois dans 32000 : pour cela il suffit de diviser 320 par 469, & de remarquer que le chiffre qui viendra exprimera, non des unités simples, mais des centaines d’unités. Mais je vois que 320 ne peut se diviser par 469, ainsi le quotient ne doit point renfermer de centaines. Il en auroit renfermé, si au lieu de 320 j’avois eu, par exemple, 520, ou en général un nombre égal ou plus grand que 469 ; car alors on auroit eu au quotient au moins l’unité qui auroit marqué une centaine d’unités. Je vois donc que le quotient ne peut contenir que des dixaines d’unités ; mais il est évident qu’il en contiendra nécessairement, car dès que le dividende a deux chiffres de plus que le diviseur, il est nécessairement plus de dix fois plus grand : en effet, 469 pris dix fois, donne 4690 qui n’a que quatre chiffres, au lieu que 32035 en a cinq. Je cherche donc combien de dixaines de fois 32035 contient 469 ; ou, ce qui est la même chose, je cherche combien de fois 32030 contient 469, en négligeant le nombre 5 pour un moment ; ou, ce qui revient encore au même, je cherche combien de fois 3203 contient 469, en me souvenant que le nombre que je trouverai au quotient, donnera des dixaines d’unités : Or je remarque d’abord que jamais 3203 ne peut contenir 469 plus de fois, que le nombre 32 (qui est formé des deux premiers chiffres du dividende) ne contient le premier chiffre 4 du diviseur : car 32 contient 4 huit fois ; & si je mettois 9, par exemple, au lieu de 8, je trouverois en multipliant 9 par 469, un nombre plus grand que 3203 ; ce qui est évident, puisque 4 fois 9 étant 36, les deux premiers chiffres du nombre égal à 9 fois 469, seroient plus grands que les deux premiers chiffres 32 du nombre 3203 : ainsi il suffit (& cette remarque est évidemment applicable à tous les cas) de diviser par le premier chiffre du diviseur le premier chiffre du dividende, lorsque le dividende a autant de chiffres que le diviseur ; ou les deux premiers chiffres, lorsque le dividende a un chiffre de plus.

Ce n’est pas à dire pour cela que cette opération ne donne jamais trop, on va voir le contraire ; mais il est sûr qu’elle ne donnera jamais trop peu, & voilà pourquoi on se contente de diviser les premiers chiffres du dividende par le premier du diviseur. Quand la division donne trop, comme dans ce cas-ci, où 8 seroit trop fort, & même 7, on diminuera successivement le quotient jusqu’à ce qu’il ne soit pas trop fort, ce qui arrivera en mettant 6 ; ce 6, comme nous l’avons vû, indique 60, & le produit 2814 est réellement 28140, qui est retranché de 32030 : il reste 389, qui est réellement 3890 ; & le 5 qu’on avoit mis à part, y étant ajoûté, il reste en tout 3895, qu’il faut actuellement diviser par 469 : on suivra pour cela les mêmes principes que ci-dessus, & on trouvera 8, qui font huit unités. Ainsi on voit que toutes les opérations qu’on fait dans la division, ne sont autre chose que les opérations qu’on vient d’expliquer, & qui y sont faites d’une maniere abregée ; car la division faite tout au long & avec tout le développement nécessaire, seroit

32030 469
28140 60 ou six dixaines.
Reste 3890
Ajoût 5
3895 469
3752 8 unités.
Reste 143 Quotiens 60
8
68

Dans la division on fait implicitement toutes ces opérations, en écrivant moins de chiffres.

Quand on a pris dans le dividende autant de chiffres de gauche à droite qu’il y en a dans le diviseur, ou an chiffre de plus, si cela est nécessaire, on voit que le quotient doit contenir autant de chiffres, plus un, qu’il en reste dans le dividende. Cela est aisé à prouver ; car soit, par exemple 523032 à diviser par 469 : après avoir pris 523, qui a autant de chiffres que 469, il reste trois chiffres, 032 : or je dis que le quotient doit avoir trois chiffres plus un, ou quatre ; car il est clair que 523000 est plus de mille fois plus grand que 469, & moins de dix mille fois. En effet, 523000 est mille fois plus grand que 523, qui est plus grand que 469 ; & 523032 est plus petit que 469 pris dix mille fois, parce que 4690000 a un chiffre de plus. Donc le quotient doit contenir des mille, & point de dixaines de mille : donc il doit avoir quatre chiffres, ni plus ni moins. Si le dividende étoit 1523032, alors prenant 1523, qui a un chiffre de plus que 469, on trouveroit de même que le quotient avoit quatre chiffres, ni plus ni moins.

C’est pour cette raison que l’on met quelquefois au quotient, o. Par exemple, je suppose que l’on ait à diviser 416 par 2 ; je vois que le quotient peut contenir des centaines, des dixaines, & des unités. Je divise donc d’abord 4 par 2, suivant la regle, & j’ai 2 ; & le produit 4 étant retranché de 2, il reste 0 ; c’est-à-dire que j’ai divise 400 par 2, & j’ai eu 200 au produit : ce 2 marque donc des centaines. Je descends 1, ce qui est la même chose que si je prenois 10 à diviser par 2, en négligeant le 6 ; je vois que 10 ne peut pas contenir 2 des dixaines de fois : je mets donc 0 au quotient, tant pour indiquer que 2 ne se trouve aucune dixaine de fois dans 416, que pour conserver au 2, premier chiffre du quotient, la valeur de centaine. Ensuite je descends 6 & je l’ajoûte à 1, ce qui est la même chose que si je divisois 16 par 2 ; j’ai pour quotient 8, & le quotient total est 208. On doit, par cet exemple, voir en général pourquoi on met o au quotient, quelquefois même plusieurs fois de suite, comme il arriveroit si on divisoit 40016 par 2 ; le quotient seroit 20008.

Enfin il nous reste à expliquer pourquoi on ne met jamais au quotient plus de 9. Pour cela il suffit de faire voir que jamais le diviseur n’est égal à dix fois la partie du dividende qu’on a prise ; ce qui est aisé à prouver. Car le diviseur pris dix fois, augmente d’un chiffre : or la partie du dividende qu’on a prise, est ou égale en nombre de chiffres au diviseur, ou d’un chiffre de plus. Dans le premier cas, il est visible qu’elle est plus petite que le diviseur pris dix fois, puisqu’elle a un chiffre de moins. Dans le second, le dividende diminué d’un chiffre vers la droite, est plus petit que le diviseur : donc le dividende avec ce chiffre rétabli, est plus petit que le diviseur pris dix fois.

En voilà ce me semble suffisamment pour faire entendre d’une maniere sensible les regles de la division, dont la plûpart des arithméticiens paroissent avoir négligé les démonstrations.

A l’égard des différentes manieres de faire la division, nous n’entrerons point ici dans ce détail, parce qu’à proprement parler elles reviennent toutes au même ; elles ne different qu’en ce que dans l’une le quotient, le diviseur & les produits sont placés d’une façon, & dans une autre d’une façon différente : on se dispense aussi quelquefois d’écrire les produits, & on fait la soustraction en formant le produit de mémoire. Ainsi dans l’exemple ci-dessus on peut n’écrire point les produits 2184 & 3752, & on fera sans cela la soustraction, qui donnera les nombres 389 & 143 : voici comme on s’y prend. On dit : 6 fois 9 font 54 ; qui de 13 ôte 4, reste 9 & retiens 5 : 6 fois 6 font 36, & 5 font 41 ; qui de 9 ôte 1, reste 8 & retiens 4 : 6 fois 4 font 24, & 4 font 28 ; qui de 31 ôte 28, reste 3 : & ainsi des autres. Cette maniere de faire la division sans écrire les produits, & en arrangeant les chiffres comme ci-dessus, s’appelle l’italienne abregée. Peu importe le nom qu’on lui donnera ; mais il est bon que les commençans, & ceux qui n’ont pas un usage très-familier du calcul, écrivent les produits, afin de ne se pas tromper.

Lorsque le dividende & le diviseur sont l’un & l’autre des nombres concrets, il faut distinguer si ce sont des nombres concrets de la même espece, ou de différentes especes.

Premier cas. Si on a, par exemple, des livres, des sous & des deniers à diviser par des livres, des sous & des deniers, il faut réduire le dividende & le diviseur en deniers, c’est-à-dire dans la plus petite monnoie : si le diviseur ne contenoit pas de deniers, & que le dividende en contint, il faudroit toûjours réduire l’un & l’autre en deniers ; le quotient indiqueroit combien le diviseur est contenu dans le dividende. En effet, si on avoit, par exemple, 1 livre à diviser par 12 deniers, c’est-à-dire si on vouloit savoir combien de fois 12 deniers sont dans 1 livre, il faudroit réduire 1 livre en 240 deniers pour avoir le quotient 20, & ainsi du reste.

Second cas. Soit proposé de diviser, par exemple, 7 toises 2 piés par 1 livre 2 sous. Voilà un dividende & un diviseur qui sont des nombres concrets de différentes especes. Voyons d’abord ce que signifie cette question. Si j’avois 60 toises à diviser par 10 sous, le quotient de 60 divisé par 10, c’est à-dire 6, m’indiqueroit que 6 toises valent 1 sou, c’est-à-dire que 6 toises d’ouvrage ou de marchandise valent 1 sou ; or 7 toises 2 piés sont 44 piés, & 1 livre 2 sous font 22 sous : donc divisant 44 par 22, je vois que 2 piés d’ouvrage valent 1 sou : & ainsi du reste.

A l’égard de la division algébrique, elle n’a aucune difficulté, elle porte avec elle sa démonstration ; il y en a des exemples plus compliqués, qu’on peut voir dans les auteurs d’Algebre ordinaire. Il faut avoir soin de bien arranger les termes du dividende & du diviseur suivant les dimensions d’une même lettre ; car c’est de-là que dépend la facilité & même la possibilité de l’opération : car si on écrivoit, par exemple, dans la seconde des deux opérations précedentes, au diviseur, au lieu de , on ne pourroit faire la division de ce premier terme.

Enfin dans la division géométrique, lorsqu’on trouve une ligne pour quotient, cela signifie ou que le dividende étoit un produit de deux lignes, dont l’une a pu être regardée comme l’unité, & par conséquent peut quelquefois ne point paroître dans le dividende ; ou que la ligne qu’on trouve pour quotient, est à une ligne qu’on prend pour l’unité, comme la ligne qui étoit le dividende est à la ligne qui étoit le diviseur. Voyez Mesure, Multiplication, Surface, &c. (O)

Division, (Jurispr.) signifie en général le partage d’une chose commune entre plusieurs personnes.

Bénéfice de division, est une exception par laquelle celui de plusieurs fidéjusseurs ou cautions qui est poursuivi pour toute la dette, oppose qu’il n’en est tenu que pour sa part & portion.

Ce bénéfice fut introduit par l’empereur Adrien, en faveur des fidéjusseurs ou cautions seulement. Justinien, par sa novelle 99. l’étendit à tous coobligés solidairement : mais en France il n’a point lieu dès que les cofidéjusseurs ou autres coobligés sont solidaires.

Il n’a lieu non plus au profit des cautions, que quand tous sont solvables pour leur part & portion au tems de la contestation en cause.

Ce bénéfice est même devenu presqu’inutile, attendu que les créanciers ne manquent guere de faire renoncer ces coobligés & cautions au bénéfice de division. Ces renonciations sont aujourd’hui presque de style : cependant elles ne se suppléent point, & ne sont point comprises dans la clause des notaires, renonçant, &c. Voyez au code, liv. VIII. tit. xxxij. & au mot Bénéfice de division. (A)

Division de dettes actives et passives, se fait de plein droit entre les créanciers & débiteurs, suivant la maxime nomina & actiones ipso jure dividuntur. Voyez Créancier, Contribution, Dette, Débiteur. (A)

Division ou Partage d’héritages, voyez Partage. (A)

Divisions ; ce sont, dans l’Art militaire, les différentes parties dans lesquelles une armée ou un corps de troupes est partagé.

Les divisions sont nécessaires dans une armée pour la mettre en ordre de bataille, la faire camper & marcher. Les divisions ordinaires de l’armée sont les bataillons & les escadrons. Voyez Bataillon & Escadron. On la divise aussi en brigades de cavalerie & d’infanterie. Voyez Brigade.

Les divisions ordinaires des bataillons s’expriment par manches, demi-manches, &c.

Pour faire concevoir cette espece de division, il faut rendre compte de plusieurs anciens usages des troupes de France.

Jusque dans la derniere guerre du regne de Louis XIV. l’infanterie étoit armée partie de piques, & partie de mousquets ou fusils. Les piques avoient été reprises en Europe environ deux siecles auparavant, à l’imitation des anciens Grecs & Macédoniens, & l’on faisoit consister dans cette arme la plus grande force de l’infanterie. Voyez Pique. Lorsqu’on formoit un bataillon, on mettoit toutes les piques au centre, & on les regardoit comme le corps du bataillon : on mettoit les mousquetaires, c’est-à-dire ceux qui étoient armés de mousquets ou de fusils, aux deux flancs des piquiers, & on s’avisa de les appeller les manches du bataillon.

Dans bien des occasions les manches étoient séparées du corps du bataillon. Dans les marches il étoit naturel que le bataillon, qui étoit alors fort nombreux, se séparât suivant la diversité de ses armes. Les piquiers firent pendant long-tems le tiers du bataillon, qui se trouvoit ainsi partagé en trois parties égales.

On avoit coûtume de faire marcher d’abord une manche de mousquetaires, puis le corps des piquiers, puis l’autre manche. Cette maniere de marcher qui étoit la plus usitée, s’appelloit marcher par manches.

Dans la suite les piquiers ayant été réduits à la cinquieme partie du bataillon, & la coûtume subsistant toûjours de faire marcher les piquiers ensemble, sans les confondre ou mêler avec les mousquetaires, on partageoit en deux parties égales chaque manche de mousquetaires, & l’on appelloit cette maniere de marcher, marcher par demi-manches, ou demi-rangs de manches ; le bataillon se trouvoit alors partagé en cinq parties égales.

Dans les occasions où il falloit séparer le bataillon en plus de parties, & donner moins de front aux divisions, on partageoit chacune des divisions précédentes en deux parties égales, & le bataillon se trouvoit avoir dix divisions. Lorsqu’il marchoit de cette maniere, on disoit qu’il marchoit par quart de manches, ou par quart de rangs de manches.

Quoique la diversité des armes dans l’infanterie ait cessé dès l’année 1704, dans laquelle les piques furent entierement supprimées, ces mêmes expressions ont continué d’être en usage, & les ordonnances ne font pas mention d’autre maniere de marcher ou de défiler : cependant comme elles ne sont plus naturelles, il seroit à-propos de leur en substituer de plus propres. C’est ce que plusieurs majors ont fait depuis la guerre de 1733 : ils divisent les bataillons en deux, quatre, & huit divisions égales, sans se servir du terme de manches. Mais tant qu’il sera d’usage, il faut se ressouvenir,

1°. Que marcher par manches, c’est marcher lorsque le bataillon est sur trois divisions égales.

2°. Que marcher par demi-manches, c’est marcher lorsque le bataillon est sur cinq divisions.

Et enfin 3°. que marcher par quart de manches ou quart de rangs de manches, c’est marcher lorsque le bataillon est partagé en dix parties égales.

Ces divisions sont indépendantes de la compagnie des grenadiers, qui suivant les ordonnances doit faire une division à part, laquelle marche toûjours la premiere.

A l’égard des officiers, ceux des grenadiers, suivant les mêmes ordonnances, doivent marcher seuls avec leurs grenadiers. Le colonel & le lieutenant-colonel doivent marcher à la tête de la premiere division ; & les capitaines, par une regle assez bisarre, doivent marcher la moitié à la tête de la premiere division, & la moitié à la queue de la derniere ; ensorte que le bataillon en sortant d’un défilé, est formé avant que la moitié des capitaines soit arrivée à la tête.

Les officiers subalternes sont partagés également pour marcher à la tête de toutes les divisions : ainsi le bataillon marchant par manches, le tiers des subalternes est à la tête de la premiere division, l’autre à la seconde, &c. Si le bataillon marche par demi-manches, la cinquieme partie des subalternes est à la tête de la premiere division ; à la tête de la seconde est un autre cinquieme, &c.

Les divisions naturelles de l’escadron sont celles des quatre compagnies dont il est composé. Lorsqu’il ne marche pas de front, on peut le partager en deux divisions de deux compagnies chacune, d’une compagnie, &c. suivant le terrein par où l’escadron doit passer. (Q)

Division, (Marine.) voyez Escadre.

Division d’une armée navale ; c’est une certaine quantité de vaisseaux faisant partie d’une armée navale, lesquels sont sous le commandement d’un officier général. Le nombre des vaisseaux qui font une division n’est pas toûjours le même : quelquefois c’est la troisieme partie d’une armée navale qu’on nomme escadre ; quelquefois c’en est la neuvieme, lorsque l’armée est partagée en trois escadres, & chaque escadre en trois divisions, comme on l’a vû pendant les campagnes navales de 1672 & 1673, dans la jonction des armées de France & d’Angleterre ; celle d’Angleterre formoit deux escadres, la rouge & la bleue, chacune partagée en trois divisions ; & l’armée de France qui formoit l’escadre blanche, étoit aussi distribuée en trois divisions. (Z)

Division, s. f. terme d’Imprimerie ; c’est une petite ligne ou tiret dont on fait usage en quatre occasions différentes.

I. Lorsqu’il ne reste pas assez de blanc à la fin d’une ligne pour contenir un mot entier, mais qu’il y en a suffisamment pour une ou deux syllabes du mot, on divise alors le mot ; on place au bout de cette ligne les syllabes qui peuvent y entrer, & on y joint le tiret qu’on appelle division, parce qu’il divise ou sépare le mot en deux parties, dont l’une est à une ligne & l’autre à la ligne qui suit. Les Imprimeurs instruits ont grande attention à ne jamais diviser les lettres qui font une syllabe. Ce seroit par exemple une faute de diviser cause, en imprimant ca à une ligne, & use à la ligne suivante : il faut diviser ce mot ainsi, cau-se. On doit aussi éviter de ne mettre qu’une seule lettre d’un mot au bout de la ligne : après tout il me semble qu’en ces occasions le compositeur feroit mieux d’espacer les mots précédens, & de porter le mot tout entier à la ligne suivante ; il éviteroit ces divisions, toûjours desagréables au lecteur.

II. Le second emploi de la division est quand elle joint des mots composés, arc-en-ciel, porte-manteau, c’est-à-dire, vis-à-vis, &c. en ces occasions il n’y a que les Imprimeurs qui appellent ce signe division ; les autres le nomment trait d’union, ou simplement tiret.

III. On met une division après un verbe suivi du pronom transposé par interrogation : que dites-vous ? que fait-il ? que dit-on ?

IV. Enfin on met une double division, l’une avant, l’autre après le t euphonique, c’est-à-dire après le t interposé entre deux voyelles, pour éviter le bâillement ou hiatus ; la prononciation en devient plus douce : m’aime-t-il ?

Voici une faute dont on ne voit que trop d’exemples ; c’est de mettre une apostrophe au lieu du second tiret, m’aime-t’il ? il n’y a point là de lettre supprimée après le t ; ainsi c’est le cas de la division, & non de l’apostrophe. Voyez Apostrophe. (F)

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Division : définitions subjectives sur Dicopedia

Dicopedia est un dictionnaire participatif où n'importe qui peut partager sa propre définition des mots de la langue française. L'intérêt de cette initiative est de proposer des définitions subjectives et très diverses, selon l'expérience de chacun. Nous ajouterons dans cette section les définitions de « division » les plus populaires.

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Étymologie de « division »

Étymologie de division - Littré

Provenç. devision, devezio ; espagn. division ; ital. divisione ; du latin divisionem, de divisum, supin de dividere (voy. DIVISER).

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Étymologie de division - Wiktionnaire

(1120) Du latin divisio (« partage, distribution, répartition ») de dividere (« diviser, voir les choses différemment ») → voir di- et vision.
Wiktionnaire - licence Creative Commons attribution partage à l’identique 3.0

Phonétique du mot « division »

Mot Phonétique (Alphabet Phonétique International) Prononciation
division divizjɔ̃ play_arrow

Évolution historique de l’usage du mot « division »

Source : Google Books Ngram Viewer, application linguistique permettant d’observer l’évolution au fil du temps du nombre d'occurrences d’un ou de plusieurs mots dans les textes publiés.

Citations contenant le mot « division »

  • Cette division a été formée le 1er septembre 1938 à Berlin, pour organiser toutes les unités de Fallschirmjäger (parachutisme). Le 1er mai 1945, la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la...) a été convertie en 1. Fallschirmjäger-Division. Techno-Science.net, 🔎 7. Flieger-Division - Définition et Explications
  • Les deux piliers de la domination masculine résident dans le contrôle social de la fécondité des femmes et dans la division du travail entre les deux sexes. De Françoise Héritier / Le Monde de l'éducation - Juillet - Août 2001
  • Huit forces soutiennent la Création : Le mouvement et l'immobilité La solidification et la fluidité L'extension et la contraction L'unification et la division. De Morihei Ueshiba
  • La femme, c'est la multiplication des problèmes, la soustraction de l'argent et la division des amis. De Anonyme
  • La chair contre la chair produit un parfum, mais le frottement des mots n'engendre que souffrance et division. De Anaïs Nin
  • La réalité est à la fois multiple et une, et dans sa division elle est toujours rassemblée. De Platon
  • Calindrier : système de division du temps en baisers, en touche-moi et en mamours. De Alain Finkielkraut / Le petit fictionnaire illustré
  • Les mariages d’aujourd’hui ? Ni union, ni multiplication, mais des additions en attendant la division. De Maurice Donnay
  • Dieu et le diable représentent un effort louable de spécialisation dans la division du travail. De Samuel Butler
  • La division est toujours nuisible. De François Fillon / Le Monde - 07 Mars 2007
  • Connaissant leurs sentiments, il leur dit : Tout royaume divisé contre lui-même court à la ruine ; et nulle ville, nulle maison divisée contre elle-même ne saurait se maintenir. , Évangile selon saint Matthieu, XII, 25
  • La France est le seul pays du monde où, si vous ajoutez dix citoyens à dix autres, vous ne faites pas une addition, mais vingt divisions. Pierre Daninos, Les Carnets du major W. Marmaduke Thompson, Hachette

Images d'illustration du mot « division »

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Traductions du mot « division »

Langue Traduction
Corse divisione
Basque zatiketa
Japonais 分割
Russe деление
Portugais divisão
Arabe قطاع
Chinois
Allemand aufteilung
Italien divisione
Espagnol división
Anglais division
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Synonymes de « division »

Source : synonymes de division sur lebonsynonyme.fr

Antonymes de « division »


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