Approximation

Définitions de « approximation »

Encyclopédie, 1re édition (1751)

APPROXIMATION, approximatio, s. f. (en Mathématique.) est une opération par laquelle on approche toûjours de plus en plus de la valeur d’une quantité cherchée, sans cependant en trouver jamais la valeur exacte. Voyez Racine.

Wallis, Raphson, Halley, & d’autres, nous ont donné différentes méthodes d’approximation : toutes ces méthodes consistent à trouver des séries convergentes, à l’aide desquelles on approche si près qu’on veut de la valeur exacte d’une quantité cherchée ; & cela plus ou moins rapidement, selon la nature de la série. Voyez Convergent & Série.

Si un nombre n’est point un quarré parfait, il ne faut pas s’attendre d’en pouvoir tirer la racine exacte en nombres rationels, entiers ou rompus ; dans ces cas il faut avoir recours aux méthodes d’approximation, & se contenter d’une valeur qui ne differe que d’une très-petite quantité de la valeur exacte de la racine cherchée. Il en est de même de la racine cubique d’un nombre qui n’est pas un cube parfait, & ainsi des autres puissances, comme on peut voir dans les Transact. phil. n°. 215.

La méthode la plus simple & la plus facile d’approcher de la racine d’un nombre, est celle-ci : je suppose, par exemple qu’on veuille tirer la racine quarrée de 2 ; au lieu de 2, j’écris la fraction ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {20000}{10000}}}$, qui lui est égale, ayant soin que le dénominateur 10000 soit un nombre quarré, c’est-à-dire, renferme un nombre pair de zeros ; ensuite je tire la racine quarrée du numérateur 20000 ; cette racine, que je peux avoir à une unité près, étant divisée par 100, qui est la racine du dénominateur, j’aurai à ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{100}}}$ près la racine de ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {20000}{10000}}}$, c’est-à-dire, de 2.

Si on vouloit avoir la racine plus approchée, il faudroit écrire ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {2000000}{1000000}}}$, & on auroit la racine à ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{1000}}}$ près, &c. de même pour avoir la racine cubique de 2, il faudroit écrire ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {2000000}{1000000}}}$, 1000000 étant un nombre cubique, & on auroit la racine à ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{1000}}}$ près, & ainsi à l’infini.

Soit ${\displaystyle \scriptstyle aa+b}$ un nombre quelconque qui ne soit pas un quarré parfait, & ${\displaystyle \scriptstyle a^{3}+b}$ un nombre quelconque qui ne soit pas un cube parfait. Soit ${\displaystyle \scriptstyle aa}$ le plus grand quarré parfait contenu dans le premier de ces nombres. Soit ${\displaystyle \scriptstyle a^{3}}$, le plus grand cube parfait contenu dans le second de ces nombres, on aura ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {aa+b}}=a+{\frac {b}{2a}}-{\frac {3bb}{8a^{3}}}}$ &c. & ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{3}]{a^{3}+b}}=a+{\frac {b}{3a^{2}}}-{\frac {bb}{9a^{5}}}}$ &c. Voyez Binome. A l’aide de ces équations, on aura facilement des expressions fort approchées des racines quarrées & cubiques que l’on cherchera.

Soit proposé d’avoir la racine d’une équation par Approximation, 1°. d’une équation du second degré. Soit l’équation donnée du second degré dont il faut avoir la racine par approximation, ${\displaystyle \scriptstyle x^{2}-5x-31=0}$ ; on suppose que l’on sache déja que la racine est à peu-près à ; ce que l’on peut trouver aisément par différentes méthodes dont plusieurs sont exposées dans le VI^e livre de l’Analyse démontrée du P. Reyneau.

Soit 8+y la racine de l’équation proposée, ensorte que y soit une fraction égale à la quantité dont 8 est plus grand ou plus petit que la racine cherchée, on aura donc

${\displaystyle \scriptstyle x^{2}=64+16y+y^{2}}$

${\displaystyle \scriptstyle -5x=-40-5y}$

${\displaystyle \scriptstyle -31=-31.}$

${\displaystyle \scriptstyle -7+11y+y^{2}=0.}$

Or comme une fraction devient d’autant plus petite que la puissance à laquelle elle se trouve élevée est grande, & que nous ne nous proposons que d’avoir une valeur approchée de la racine de l’équation, nous négligerons le terme y² ; & la derniere équation se réduira à

${\displaystyle \scriptstyle -7+11y=0}$

${\displaystyle \scriptstyle y={\frac {7}{11}}={\frac {6}{10}}}$ à peu-près${\displaystyle \scriptstyle =0.6}$.

Donc ${\displaystyle \scriptstyle x=8+0.6=8.6}$.

Soit encore ${\displaystyle \scriptstyle x=8.6+y}$, on aura

${\displaystyle \scriptstyle x^{2}={\frac {7396}{100}}+{\frac {172}{10y}}+y^{2}}$

${\displaystyle \scriptstyle -5x=-{\frac {430}{10}}-5y}$

${\displaystyle \scriptstyle -31=-31.}$

${\displaystyle \scriptstyle {\frac {7396}{100}}-{\frac {430}{10}}-31+{\frac {172}{10y}}-5y=0.}$

Réduisant les fractions au même dénominateur, on aura l’équation suivante :

${\displaystyle \scriptstyle 73.96-4300-3100+(1720-500)y=0}$

${\displaystyle \scriptstyle -0.04+1220y=0.}$

${\displaystyle \scriptstyle 12.20y=0.04.}$

${\displaystyle \scriptstyle y=004:12.20=0.0032.}$

Donc ${\displaystyle \scriptstyle x=8.6000+0.0032=8.6032.}$

Soit encore ${\displaystyle \scriptstyle x=8.6032+y}$ : on aura

${\displaystyle \scriptstyle x^{2}=7401505024+17.206400007+y^{2}}$

${\displaystyle \scriptstyle -5x=-43.01600000-500000000}$

${\displaystyle \scriptstyle -31=-31.00000000.}$

${\displaystyle \scriptstyle -0.000094976-12.20640000y=0.}$

${\displaystyle \scriptstyle y=0.000094976:12.20640000y=0.000077808.}$

Donc ${\displaystyle \scriptstyle x=8.6032000000+0.0000076808}$

Donc ${\displaystyle \scriptstyle x}$${\displaystyle \scriptstyle =8.603277808.}$

Soit maintenant cette équation du troisieme degré, dont il faut chercher la racine par approximation, ${\displaystyle \scriptstyle x^{3}+2x^{2}-23x-70=0}$, & dont on suppose que l’on sache à peu-près la valeur de la racine, par exemple 5.

Soit donc la racine de cette équation 5+y. Comme on peut négliger les termes où y se trouve au second & au troisieme degré, il n’est pas nécessaire de les exprimer dans la transformation. On aura donc seulement

${\displaystyle \scriptstyle x^{3}=125+75y}$

${\displaystyle \scriptstyle +2x^{2}=50+20y}$

${\displaystyle \scriptstyle -23x=115-23y}$

${\displaystyle \scriptstyle -70=-70.}$

${\displaystyle \scriptstyle -10+72y=0.}$

${\displaystyle \scriptstyle y=-{\frac {10}{72}}=0.1.}$

Donc ${\displaystyle \scriptstyle x=5+0.1=5.1.}$

Soit derechef ${\displaystyle \scriptstyle x=5.1+y}$, on aura

${\displaystyle \scriptstyle x^{3}=132.651+73.030y}$

${\displaystyle \scriptstyle +2x^{2}=52.020+20.400y}$

${\displaystyle \scriptstyle -23x=-117.300-23.000y}$

${\displaystyle \scriptstyle -70=-70.000.}$

${\displaystyle \scriptstyle -2.629+75.430y=0}$

${\displaystyle \scriptstyle 75.430y=2.629.}$

${\displaystyle \scriptstyle y=2.629:75.430=0.0348.}$

Donc ${\displaystyle \scriptstyle x=5.1+0.0348=5.1348}$, & ainsi de suite à l’infini. Il est évident que plus on réitérera l’opération, plus la valeur de x approchera de la valeur exacte de la racine de l’équation proposée.

Cette méthode pour approcher des racines des équations numériques, est dûe à M. Newton. Dans les Mém. de l’Acad. de 1744, on trouve un mémoire de M. le marquis de Courtivron, où il perfectionne & simplifie cette méthode. Dans les mêmes Mémoires, M. Nicole donne aussi une méthode pour approcher des racines des équations du troisieme degré dans le cas irréductible ; & M. Clairaut, dans ses Elémens d’Algebre, enseigne aussi une maniere d’approcher de la racine d’une équation du troisieme degré dans ce même cas. V. Cas irréductible du troisieme degré. (O)

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Étymologie de « approximation »

Phonétique du mot « approximation »

Évolution historique de l’usage du mot « approximation »

Source : Google Books Ngram Viewer, application linguistique permettant d’observer l’évolution au fil du temps du nombre d'occurrences d’un ou de plusieurs mots dans les textes publiés.

Citations contenant le mot « approximation »

• La télévision est un système de communication où la distinction est devenue suspecte et l’approximation banale. De Alain Bentolila / Le Figaro, 14 février 2015 , 

• En renonçant à la distinction, on se vautre dans l’approximation, car la paresse articulatoire cache une paresse intellectuelle. De Alain Bentolila / Le Figaro, 14 février 2015 , 

• La langue télédiffusée est à la hauteur des contenus qu’elle véhicule : ses approximations portent des messages d’une totale superficialité. De Alain Bentolila / Le Figaro, 14 février 2015 , 

• Quand on ne sait pas s’exprimer, quand on ne manie que de vagues approximations, comme beaucoup de jeunes, il ne reste que les poings, la violence fruste, stupide, aveugle. De Jacqueline de Romilly / Le Point, 25 janvier 2015 , 

• À l'heure où la notion d'expérience client préside à tous les choix stratégiques des marques et où en parallèle, le consommateur est plus impatient que jamais, la recherche sur Internet et plus précisément la recherche on-site ne tolère pas l'approximation. Selon une étude de Forrester, si les clients ne parviennent pas à trouver l'objet de leur requête en moins de 2 ou 3 essais, ils quittent le site Internet. Les réponses directes permettent de minimiser le taux de rebond en réduisant le parcours menant à la conversion et en insérant des calls to action directement dans les résultats. Or, face aux performances des moteurs de recherche comme Google, les sites Internet des marques font souvent pâle figure. "Le véritable problème, note Jimmy Barens, International VP Sales Engineering pour Yext, c'est la conception même des moteurs de recherche intégrés aux sites Internet des entreprises". En effet, contrairement à Google, qui, grâce l'intégration du langage naturel détecte les intentions et peut apporter beaucoup de finesse dans la restitution des résultats, les sites des marques sont résolument orientés produits et s'appuient quasi-exclusivement sur une logique de mots-clés. "Les moteurs de recherche ont façonné les habitudes des clients, ils s'attendent aujourd'hui à recevoir une réponse directe à chaque question posée, observe Jimmy Barens. La recherche sur site devrait fonctionner de la même façon et intégrer le fait que l'énoncé saisi a un sens et que chacun des mots qui le composent doit être considéré en lien avec le reste afin de comprendre l'intention de l'utilisateur". https://www.e-marketing.fr/, Yext Answers : boostez l'expérience de recherche sur site !

• La propriété d'approximation des fractions continues est retrouvée accidentellement sur la racine de 13 par Rafael Bombelli puis généralisée par Pietro Antonio Cataldi à toutes les racines carrées. William Brouncker utilise cette méthode pour obtenir une approximation de π exacte à 10 décimales. Leonhard Euler développe l'aspect théorique de la méthode. Il montre que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre réel admet un unique développement en fraction continue simple et qu'il est irrationnel si, et seulement si cette fraction continue est de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet,...) infinie. Il invente une méthode, maintenant connue sous le nom d'approximant de Padé pour déterminer celui de e, la base du logarithme népérien, ce qui est la première démonstration de son irrationalité. Johann Heinrich Lambert (Johann Heinrich Lambert (26 août 1728 à Mulhouse - 25 septembre 1777 à Berlin) est un mathématicien, physicien et astronome alsacien du...) pousse plus loin l'exploration (L'exploration est le fait de chercher avec l'intention de découvrir quelque chose d'inconnu.) et montre que π n'est pas non plus rationnel. Techno-Science.net, 🔎 Fraction continue et approximation diophantienne - Définition et Explications

• À nouveau sévèrement critiqué après son approximation sur le but de Steven Bergwijn lors de Tottenham - Manchester United (1-1) en Premier League, vendredi dernier - en particulier par des anciens Red Devils emblématiques comme Roy Keane et Phil Neville - le gardien espagnol de MU, David De Gea (29 ans, 41 sélections) a reçu le soutien appuyé de son entraîneur, Ole Gunnar Solskjaer, ce mardi. L'Équipe, Ole Gunnar Solskjaer (Manchester United) défend son gardien, David De Gea - Foot - ANG - MU - L'Équipe

• «Avec un ensemble de règles stable, nous connaîtrons une approximation des performances. Mais je ne m’attendais pas à ce que nous soyons en avance sur Mercedes ou Ferrari à partir de 2022. Mais ce sera certainement plus facile pour nous que pour les grandes équipes. » Breakingnews.fr, Plafond budgétaire plus facile à gérer pour les petites équipes

• L’approximation ne s’arrête pas ici. L’app indique le « croisement », c’est-à-dire la « rencontre » entre deux utilisateurs, lorsque leurs coordonnées GPS indicatives se trouvent à une distance comprise dans une zone de 250 mètres autour des utilisateurs et 700 mètres des utilisateurs. Happn vous indiquera le lieu de ce croisement. Il ne s’agit en réalité que d’une estimation approximative de votre position. Numerama, Happn vous promet de « rencontrer qui vous croisez », mais ce n'est pas vraiment le cas

• L’incompétence : première cible du coup fatal L’intention de celui qui tient les manettes du pouvoir Exécutif ne serait pas sans raisons. Elle serait prioritairement motivée par l’incompétence notoire dont beaucoup de ses actuels ministres ont fait preuve, notamment à l’épreuve de la crise de la COVID 19. Attendus pour donner la preuve de leur efficacité dans cette situation qui a fini de bousculer toutes les prévisions, certains de ces ministres n’auraient brillé que par leur sens de l’improvisation, de l’approximation et du tâtonnement. , Un profond remaniement en vue- Les vraies raisons dévoilées –

• Bien malin qui pourra dire s’il s’agit d’un raccourci futé et justifié ou d’une approximation qui n’a rien à envier à l’équation de Drake. En partant du principe que la vie se développe après 4,5 à 5,5 milliards d’années après la formation d’une étoile – comme sur Terre -, l’équipe de Nottingam affine certes son estimation, mais la solidité de celle-ci reste entièrement suspendue à notre connaissance des origines de la vie sur Terre… encore largement incomplète. Journal du Geek, Il pourrait y avoir 36 civilisations alien à portée de contact

• "On a géré la pénurie, le manque de masques et de tests par l'approximation et parfois par l'omission", a considéré le président de la Chambre haute dans un entretien au JDD. Le Point, Coronavirus: pour Larcher, la crise a été gérée "par l'approximation" - Le Point

• Les petits, les grands, les jeunes, les vieux, tout le monde connait Porsche, tout le monde reconnait une Porsche, tout le monde aime Porsche. Aïe, première approximation, il ne m’aura pourtant fallu que 179 mots. La 911 fait figure de fil conducteur tout au long de l’histoire du constructeur allemand et ce depuis plus de 5 décennies. Dévoilée en 2019, la 992 a fait couler pas mal d’encre, notamment en raison des nombreux partis pris stylistiques. Les références à la 911 originelle n’ont pourtant jamais été si nombreuses, même si la partie technique a fondamentalement changé. À l’avant, on retrouve les légendaires optiques rondes à signature lumineuse diurne composée 4 LED adoptée depuis la génération 991 et plus largement par le reste de la gamme depuis la 918. Le capot avant adopte des formes plus anguleuses tandis que les clignotants se font plus fins et parfaitement droits. Les différences sont minces avec la 991 (en comparaison avec la 991 par rapport à la 997) et bien habile sera celui à repérer au premier coup d’oeil de quelle génération il s’agit.  Blog Automobile, Essai Porsche 911 992 Carrera PDK : toute première fois

Traductions du mot « approximation »

Synonymes de « approximation »

• à-peu-près
• itération
• imprécision
• approximatif
• estimation
• évaluation
• échantillon
• estime
• calcul
• approximativement
• appropriation
• approbation

Antonymes de « approximation »

• axiome
• détermination
• exactitude
• justesse
• perfection
• précision
• rigueur
• approximation

Combien de points fait le mot approximation au Scrabble ?

Nombre de points du mot approximation au scrabble : 26 points