Limite

Nom commun - français

limite \li.mit\ féminin

1. Restriction ; point réel fini au-delà duquel on ne doit pas aller.
2. Ligne de démarcation naturelle ou convenue qui sert à séparer un terrain, un territoire, d’un terrain, d’un territoire contigu ou voisin.
   • Le Sénat ne s'oppose pas à la promulgation de la loi qui règle les limites des communes de Condé-lès-Vouziers et de Vouziers (Ardennes). — (Bulletin des lois de l'Empire français, 11^e série, décembre 1852 et 1^er semestre 1853, p.658)
   • C'est sur la limite des communes de Poule et de Propières qu'est située la fameuse roche d’Ajoux, dont on fait dériver le nom d’Ara Jovis, autel de Jupiter. — (Annuaire départemental, administratif, historique, industriel et statistique, année 1847, Lyon : chez Mougin-Rusand, 1847, p. 155)
   • Une promenade d’une dizaine de minutes sur la plate-forme me permet d’entrevoir les hauteurs de la frontière persane à l’extrême limite de l’horizon. — (Jules Verne, Claudius Bombarnac, chapitre VIII, J. Hetzel et C^ie, Paris, 1892)
   • La limite de l’Olivier, bien qu’artificielle, puisque c'est une plante cultivée, est la meilleure limite de la flore méditerranéenne en France. — (Henri Gaussen, Géographie des Plantes, Armand Colin, 1933, p.80)
3. (Figuré) Point qu’une pensée, un sentiment, une action ne peuvent ou ne doivent pas dépasser.
   • Son ambition est sans limites.
   • Il ne donne point de limites à ses désirs.
   • La limite qui sépare l’erreur de la vérité n’est pas toujours facile à marquer, à fixer, à reconnaître.
   • Il a franchi les limites de son pouvoir.
4. Moment, l’âge au delà duquel on ne peut plus légalement exercer une fonction.
   • Atteindre la limite d’âge.
5. (Topologie) Pour une suite d’un espace topologique, élément de cet espace vers lequel cette suite converge ; autrement dit, élément tel que, pour chaque voisinage de cet élément, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à ce voisinage.
   • La limite de la suite réelle ${\displaystyle (u_{n})}$ définie par ${\displaystyle {\begin{cases}u_{0}=1\\u_{n+1}=u_{n}+{\frac {1}{(n+1)!}}\end{cases}}}$ est ${\displaystyle e\ (\approx {}2.71828...)}$.
6. (Analyse) Valeur dont une fonction est assez proche, en un point ou à l'infini. Elle peut éventuellement être la valeur de la fonction en ce point.
   • La fonction carré a pour limite 0 en 0.

• 1Ligne de démarcation entre des terrains ou territoires contigus ou voisins. Les Pyrénées sont la limite de la France du côté de l'Espagne. La rivière sert de limite à ma propriété.

  Il se dit souvent au pluriel en ce sens. Il avait, en livrant des combats, en remportant des victoires, en domptant de fières nations, étendu les limites de son empire, Bourdaloue, 2^e dim. après Pâq. Dominic. t. II, p. 36. Lui seul [Dieu] mit à vos pieds le Parthe et l'Indien, Dissipa devant vous les innombrables Scythes, Et renferma les mers dans vos vastes limites, Racine, Esth. III, 4. Vos ordres sont suivis ; déjà vos satellites D'Élide et de Messène occupent les limites, Voltaire, Mérope, I, 4.

  Fig. Je dis que sa grandeur n'aura point de limite, Malherbe, VI, 1. La raison a pour eux des bornes trop petites ; En chaque caractère ils passent les limites, Molière, Tart. I, 6. Je prie Dieu, lorsque je sens que je m'engage dans ces prévoyances, de me renfermer dans mes limites, Pascal, Lett. à Mlle de Roannez, 7. Blâmez ce que Dieu blâme, condamnez ce que Dieu condamne ; mais ne passez point ces limites sacrées, Bossuet, Sermons, Jugem. humains, 1. Quelquefois dans sa course un esprit vigoureux, Trop resserré par l'art, sort des bornes prescrites, Et de l'art même apprend à franchir les limites, Boileau, Art p. IV. C'est une expérience éternelle, que tout homme qui a du pouvoir est porté à en abuser ; il va jusqu'à ce qu'il trouve des limites ; qui le dirait ? la vertu même a besoin de limites, Montesquieu, Espr. XI, 4. Le temps est assez long pour quiconque en profite ; Qui travaille et qui pense en étend la limite, Voltaire, 6^e disc. en vers. Dans toute production poétique il y a toujours un peu de mensonge dont la limite n'est et ne sera jamais déterminée, Diderot, Salon de 1767, Œuv. t. XIV, p. 238, dans POUGENS.

• 2 Terme de mathématique. Grandeur de laquelle une autre grandeur peut approcher indéfiniment, sans jamais pouvoir la surpasser.

  Méthode des limites, méthode de démonstration qui emploie la considération des grandeurs limites.

  Limites des racines d'une équation, les deux quantités entre lesquelles se trouvent comprises les racines réelles.

• 3 Au plur. Terme d'astronomie. Les points de l'orbite d'une planète les plus éloignés de l'écliptique.

LIMITE, s. f. (Mathémat.) On dit qu’une grandeur est la limite d’une autre grandeur, quand la seconde peut approcher de la premiere plus près que d’une grandeur donnée, si petite qu’on la puisse supposer, sans pourtant que la grandeur qui approche, puisse jamais surpasser la grandeur dont elle approche ; ensorte que la différence d’une pareille quantité à sa limite est absolument inassignable.

Par exemple, supposons deux polygones, l’un inscrit & l’autre circonscrit à un cercle, il est évident que l’on peut en multiplier les côtés autant que l’on voudra ; & dans ce cas, chaque polygone approchera toujours de plus en plus de la circonférence du cercle, le contour du polygone inscrit augmentera, & celui du circonscrit diminuera ; mais le périmetre ou le contour du premier ne surpassera jamais la longueur de la circonférence, & celui du second ne sera jamais plus petit que cette même circonférence ; la circonférence du cercle est donc la limite de l’augmentation du premier polygone, & de la diminution du second.

1°. Si deux grandeurs sont la limite d’une même quantité, ces deux grandeurs seront égales entr’elles.

2°. Soit A × B le produit des deux grandeurs A, B. Supposons que C soit la limite de la grandeur A, & D la limite de la quantité B ; je dis que C × D, produit des limites, sera nécessairement la limite de A × B, produit des deux grandeurs A, B.

Ces deux propositions, que l’on trouvera démontrées exactement dans les institutions de Géométrie, servent de principes pour démontrer rigoureusement que l’on a l’aire d’un cercle, en multipliant sa demi-circonférence par son rayon. Voyez l’ouvrage cité p. 331. & suiv. du second tome. (E)

La théorie des limites est la base de la vraie Métaphysique du calcul différentiel. Voyez Différentiel, Fluxion, Exhaustion, Infini. A proprement parler, la limite ne coïncide jamais, ou ne devient jamais égale à la quantité dont elle est la limite ; mais celle-ci s’en approche toujours de plus en plus, & peut en différer aussi peu qu’on voudra. Le cercle, par exemple, est la limite des polygones inscrits & circonscrits ; car il ne se confond jamais rigoureusement avec eux, quoique ceux-ci puissent en approcher à l’infini. Cette notion peut servir à éclaircir plusieurs propositions mathématiques. Par exemple, on dit que la somme d’une progression géométrique décroissante dont le premier terme est a & le second b, est ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {a-b}{aa}}}$ ; cette valeur n’est point proprement la somme de la progression, c’est la limite de cette somme, c’est-à-dire la quantité dont elle peut approcher si près qu’on voudra, sans jamais y arriver exactement. Car si e est le dernier terme de la progression, la valeur exacte de la somme est ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {aa-bc}{a-b}}}$, qui est toujours moindre que ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {aa}{a-b}}}$, parce que dans une progression géométrique même décroissante, le dernier terme e n’est jamais = 0 : mais comme ce terme approche continuellement de zéro, sans jamais y arriver, il est clair que zéro est sa limite, & que par conséquent la limite de ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {aa-bc}{a-b}}}$ est ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {aa}{a-b}}}$, en supposant e = 0, c’est-à-dire en mettant au lieu de e sa limite. Voyez Suite ou Série, Progression, &c. (O)

Limite des Planetes, (Astronom.) sont les points de leur orbite où elles sont le plus éloignées de l’écliptique. Voyez Orbite.

Les limites sont à 90 degrés des nœuds, c’est-à-dire des points où l’orbite d’une planete coupe l’écliptique.

Limites, en Algebre, sont les deux quantités entre lesquelles se trouvent comprises les racines réelles d’une équation. Par exemple, si on trouve que la racine d’une équation est entre 3 & 4, ces nombres 3 & 4 seront ses limites. Voy. les articles Equation, Cascade & Racine.

Limites d’un problème sont les nombres entre lesquels la solution de ce problème est renfermée. Les problèmes indéterminés ont quelquefois, & même souvent, des limites, c’est-à-dire que l’inconnue est renfermée entre de certaines valeurs qu’elle ne sauroit passer. Par exemple, si on a ${\displaystyle \scriptstyle y={\sqrt {aa-xx}}}$, il est clair que y ne sauroit être plus grande que a, puisque faisant x = 0, on a y = a ; & que faisant x = a, on a y = 0, & qu’enfin x > a, rend y imaginaire, soit que x soit positive ou négative. Voyez Probleme & Déterminé. (O)