Proportion

Nom commun - français

proportion \pʁɔ.pɔʁ.sjɔ̃\ féminin

1. Rapport et convenance des parties entre elles et avec leur tout.
   • Cette colonne et son piédestal ne sont pas en proportion, cette colonne n’est pas en proportion avec son piédestal : La grandeur de l’une ne répond pas à celle de l’autre.
   • Certaines proportions de monuments font sourire ; le langage dit très justement : c’est ridicule, c’est riquiqui. — (Lucien Fabre, Le Rire et les rieurs, Gallimard, Paris, 1929, page 228)
   • Le visage aux méplats et aux rehauts fortement structurés a quelque chose de cette étrangeté de proportions par quoi Léonard définit la beauté. — (Marguerite Yourcenar, Souvenirs pieux, 1974, collection Folio, page 151)
   • Le développement de cette espèce est de type hétérométabole : l’accroissement de la taille se fait progressivement au cours de quatre mues juvéniles et d’une mue imaginale et s’accompagne de changements dans les proportions du corps. — (Archives de zoologie expérimentale et générale, vol. 116, CNRS, 1975, page 175)
2. (Figuré) Convenance que toutes sortes de choses ont les unes avec les autres.
   • Le spectre biologique de l’association des moissons siliceuses accuse une proportion très élevée de Thérophytes […] — (Gustave Malcuit, Contributions à l’étude phytosociologique des Vosges méridionales saônoises, les associations végétales de la vallée de La Lanterne, thèse de doctorat, Société d’édition du Nord, 1929, page 29)
   • Sa figure intelligente, dont les traits et le teint trahissaient une assez forte proportion de sang soudanais, […], prenait par moments une expression de grande affabilité. — (Frédéric Weisgerber, Trois mois de campagne au Maroc : étude géographique de la région parcourue, Paris : Ernest Leroux, 1904, page 67)
   • Du fini à l’infini, il n’y a point de proportion.
3. (Mathématiques) Égalité de deux ou de plusieurs rapports, par différence ou par quotient.
   • Le verre est le plus souvent diamagnétique, mais quelquefois magnétique à la température ambiante, cela dépend évidemment de la proportion d’oxydes magnétiques qui entrent dans sa composition. — (Pierre Curie, Propriétés magnétiques des corps à diverses températures, Annales de chimie & de physique, 7^e série, tome V, juillet 1895)
   • Et celle-ci, soumise, obéissant aux files rigides et aux quinconces rigoureux, nourrit la proportion immuablement consacrée de 4400 ceps à l’hectare. — (Ludovic Naudeau, La France se regarde : le Problème de la natalité, Librairie Hachette, Paris, 1931)
   • Jamais le taux de la natalité française n’est descendu aussi bas qu’en 1871, où il a été de 2,26 pour 100. […] Aucune autre nation ne présente une proportion aussi faible. — (Alexandre Dumas fils, La Question du divorce, 1880, 12^e édition, page 127)
4. (Au pluriel) Dimensions.
   • Le fragile édifice du crédit, —qui avait des proportions que nul n’avait prévues, et qui avait tenu dans une dépendance réciproque des centaines de millions d’hommes, sans que personne s’en rendît clairement compte,— s’effondra dans la panique. — (H. G. Wells, La Guerre dans les airs, 1908, traduction d’Henry-D. Davray et B. Kozakiewicz, Mercure de France, Paris, 1910, page 249 de l’édition de 1921)
   • Cela sort des proportions ordinaires. — Réduire à de petites proportions.

PROPORTION. (Dans ce mot et dans les quatre suivants, TI se prononce CI.) n. f.
Rapport et convenance des parties entre elles et avec leur tout. Juste proportion. Les proportions du corps humain. Les proportions des ordres d'architecture. Observer, garder les proportions. Cette colonne et son piédestal ne sont pas en proportion, cette colonne n'est pas en proportion avec son piédestal, La grandeur de l'une ne répond pas à celle de l'autre. Il se dit, au figuré, de la Convenance que toutes sortes de choses ont les unes avec les autres. Quelle proportion y a-t-il de sa dépense avec son revenu? Il n'y a nulle proportion entre les uns et les autres. Du fini à l'infini, il n'y a point de proportion. Il faut que le délit et la peine soient en proportion. Son succès n'est pas en proportion avec son mérite. En termes de Mathématiques, il désigne l'Égalité de deux ou de plusieurs rapports, par différence ou par quotient. Proportion arithmétique. Proportion géométrique. Proportion harmonique. Proportion continue. En termes d'Arithmétique, Règle de proportion ou règle de trois, Celle par laquelle on cherche un nombre qui soit en proportion géométrique continue avec trois nombres donnés. Compas de proportion, Instrument composé de deux règles plates qui s'ouvrent et se ferment comme un compas, et qui sert à diverses opérations de géométrie dépendantes des proportions.

PROPORTIONS, au pluriel, signifie Dimensions. Cela sort des proportions ordinaires. Réduire à de petites proportions. Un ouvrage fait dans de grandes proportions.

À PROPORTION, EN PROPORTION, PAR PROPORTION, loc. adv. Proportionnellement. Il n'est pas aussi bien payé que l'autre à proportion, en proportion, par proportion.

À PROPORTION DE, EN PROPORTION DE, loc. prép. Par rapport à, eu égard à. Il ne dépense pas à proportion de son revenu. On le paiera à proportion de ce qu'il aura fait. Il sera récompensé en proportion de ses services.

PROPORTION GARDÉE, TOUTE PROPORTION GARDÉE, loc. adv. En tenant compte de l'inégalité, de la différence relative des deux personnes, des deux choses dont il s'agit. Proportion gardée, toute proportion gardée, cette affaire est plus avantageuse que l'autre. Proportion gardée, ce petit jardin vaut mieux, vaut plus que ce grand parc.

• 1Rapport des parties entre elles et avec leur tout. Quelle proportion de mes pieds à ma tête ! Disait-il [le cerf] en voyant leur ombre avec douleur, La Fontaine, Fabl. VI, 9. Les pieds soutiennent le tout ; et, quoiqu'ils paraissent petits en comparaison de tout le corps, les proportions en sont si bien prises, qu'ils portent sans peine un si grand fardeau, Bossuet, Connaiss. II, 2. Je m'étais un peu éloigné pour regarder de plus près les proportions que les Tyriens avaient gardées dans la construction d'un vaisseau presque neuf, qui était, disait-on, par cette proportion si exacte de toutes ses parties, le meilleur voilier qu'on eût jamais vu dans le port, Fénelon, Tél. III. Un monstre dont la tête est d'une grosseur énorme, et dont tout le corps exténué et privé de nourriture n'a aucune proportion avec cette tête, Fénelon, ib. XXII. Il [Crouzas] définit la proportion, l'unité assaisonnée de variété, de régularité et d'ordre dans chaque partie, Diderot, Rech. philos. sur le beau, Œuv. t. II, p. 413, dans POUGENS.

  Cette colonne et son piédestal ne sont pas en proportion, cette colonne n'est pas en proportion avec son piédestal, la grandeur de l'une n'est pas en concordance avec la grandeur de l'autre, d'après les règles.

• 2Convenance et rapport des parties du corps entre elles. C'est la tête qui dans l'homme et le cheval, sert d'unité de proportion : les peintres et les statuaires comptant sept têtes ou sept têtes et demie pour la hauteur de l'homme ; chez le cheval, deux fois et demie la longueur de la tête doivent donner la hauteur du corps prise au sommet du garrot, et la longueur de l'angle scapulo-huméral à celui de la fesse.
• 3 Au plur. Dimensions. Cela sort des proportions ordinaires. Un ouvrage fait dans de grandes proportions, dans de petites proportions.

  Il se dit aussi en ce sens au singulier. Tout ce qui est au delà d'une certaine proportion cause à l'homme, à la créature bornée, un invincible effroi, Staël, Corinne, IV, 3.

  Terme de beaux-arts. L'usage autorise à dire figure de petite proportion pour figure moins grande que nature.

• 4 Fig. Convenance que les choses ont entre elles. Les honnêtes gens doivent approuver sans prévention ce qui mérite d'être approuvé, suivre ce qui mérite d'être suivi, et ne se piquer de rien ; mais il y faut une grande proportion et une grande justesse, La Rochefoucauld, Réfl. div. p. 131. Manque d'avoir contemplé ces infinis [en grandeur et en petitesse], les hommes se sont portés témérairement à la recherche de la nature, comme s'ils avaient quelque proportion avec elle, Pascal, Pens. I, 1, éd. HAVET. L'usage où ils [les princes de l'Orient] sont de faire mourir tous ceux qui leur déplaisent, au moindre signe qu'ils font, renverse la proportion qui doit être entre les fautes et les peines, qui est comme l'âme des États et l'harmonie des empires, Montesquieu, Lett. pers. 102.
• 5 Terme de mathématique. Rapport de quantités entre elles. La proportion de l'or à l'argent a fort varié dans tous les temps ; on peut s'en tenir à celle de dix à un pour l'antiquité ; ainsi un talent d'argent vaut trois mille livres, un talent d'or trente mille livres, Rollin, Traité des Ét. t. IV, p. 304, dans POUGENS. Il n'en était pas de même dans les anciennes républiques ; car cette proportion des soldats au reste du peuple, qui est aujourd'hui comme d'un à cent, y pouvait être aisément comme d'un à huit, Montesquieu, Rom. 3.

  Particulièrement Égalité de deux rapports par quotient ; ce qui se nomme proportion géométrique. Quand un homme serait persuadé que les proportions des nombres sont des vérités immatérielles, éternelles, et dépendantes d'une première vérité en qui elles subsistent et qu'on appelle Dieu, Pascal, Pens. x, 5, éd. HAVET.

  Règle de proportion, ou règle de trois, règle par laquelle on cherche un nombre qui fasse une proportion géométrique continue avec trois autres nombres donnés.

  Proportion arithmétique, celle où il y a égalité de deux ou de plusieurs différences.

  Compas de proportion, voy. COMPAS, n° 3.

• 6 Terme de chimie. Loi des proportions multiples, loi due à Dalton, suivant laquelle, quand un corps forme avec un autre plusieurs combinaisons, le poids de l'un étant considéré comme constant, les poids de l'autre varient suivant des rapports numériques très simples.
• 7À proportion, en proportion, par proportion, loc. prép. Par rapport, eu égard à. Elles [les maladies] nous gâtent le jugement et le sens ; et, si les grandes l'altèrent sensiblement, je ne doute point que les petites n'y fassent impression à leur proportion, Pascal, Imag. Puissances trompeuses, 4, édit. FAUGÈRE. Il n'étend ses désirs qu'à proportion de ses besoins, Fléchier, Tur. Je me suis toujours attaché aux gens moins en proportion du bien qu'ils m'ont fait que de celui qu'ils m'ont voulu, Rousseau, Conf. III.

  Absolument. Il y aura pour mille écus de jonquilles ; jugez à proportion, Sévigné, 43. Une salle …était soutenue de six-vingts colonnes de six brassées de grosseur, grandes à proportion, Bossuet, Hist. III, 3.

  À proportion que, avec l'indicatif, selon que. Il [un scandale] ne se forme dans nous qu'à proportion que nos mœurs se pervertissent, Bourdaloue, Dominic. Sur le scand. de la croix, 349. L'avarice et l'ambition, sources funestes de tous les maux, s'accrurent à proportion que la puissance de Rome prit de nombreux accroissements, Rollin, Traité des Ét. III, 2.

• 8Proportion gardée, toute proportion gardée, loc. adv. En tenant compte de la différence relative des personnes, des choses. Proportion gardée, il y a peut-être dix fois plus d'oiseaux dans ces climats chauds que dans les nôtres, Buffon, Ois. t. VIII, p. 251.

PROPORTION, s. f. (Mathémat.) comme on compare deux grandeurs d’où résulte un rapport ou une raison (voyez Raison, Rapport) ; aussi l’on peut comparer deux rapports d’où résulte une proportion, lorsque les rapports comparés, ou ce qui est la même chose, leurs exposans se trouvent égaux.

Chaque rapport ayant deux termes, la proportion en a essentiellement quatre ; le premier & le dernier sont nommés extrèmes ; le second & le troisieme moyens. La proportion présentée sous cette forme est dite discrete. Si les deux moyens sont égaux, on peut supprimer l’un ou l’autre, & la proportion n’offre plus que trois termes ; mais alors celui du milieu est censé double & appartenir aux deux raisons ; à la premiere comme conséquent, & à la seconde comme antécédent. En ce dernier cas, la proportion prend le nom de continue, & est une véritable progression. Voyez Progression.

La proportion ainsi que le rapport, est ou arithmétique, ou géométrique.

Proportion arithmétique. Soient les deux rapports arithmétiques ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {ab}}}$ & ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {cd}}}$ ; leurs exposans, ou plus proprement leurs différences, sont ${\displaystyle \scriptstyle b-a}$, & ${\displaystyle \scriptstyle d-c}$ ; or si ${\displaystyle \scriptstyle b-a=d-c}$, les quatre termes qui les expriment peuvent être disposés en proportion. Pour cela il suffit d’écrire les deux rapports à la suite l’un de l’autre, les séparant par trois points disposés en triangle (∵), ou simplement par deux (:), ${\displaystyle \scriptstyle a~.~b~:~c~.~d}$… ce qui s’énonce ainsi : a est à b comme c est à d, & signifie que dans l’un & dans l’autre rapport, chaque conséquent surpasse son antécédent, ou en est surpassé précisément de la même quantité.

Pour rendre général ce que nous avons à dire, nous n’employerons pour exemple que la proportion algébrique ${\displaystyle \scriptstyle a~.~b~:~c~.~d}$ ; mais on peut, pour aider l’imagination, y substituer telle proportion numérique qu’on voudra, & appliquer à celle-ci tout ce que nous dirons de l’autre. On en usera de même lorsqu’il s’agira plus bas de la proportion géométrique.

Si ${\displaystyle \scriptstyle a~.~b~:~c~.~d}$, on a (par la définition) ${\displaystyle \scriptstyle b-a=d-c}$ ; ajoutant ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {a+c}}}$ à chaque membre de cette égalité, elle devient ${\displaystyle \scriptstyle b+c=a+d}$ ; ensorte que le premier membre contient la somme des deux moyens, & le second celle des deux extrèmes ; c’est-à-dire qu’en toute proportion arithmétique, la somme des extrèmes est égale à celle des moyens. Ce qu’on pourroit encore démontrer de cette autre maniere.

Soit ${\displaystyle \scriptstyle b-a=m}$, on aura aussi ${\displaystyle \scriptstyle d-c=m}$ ; d’où l’on tire ${\displaystyle \scriptstyle b=a+m}$, & ${\displaystyle \scriptstyle d=c+m}$ : & substituant ces valeurs de b & de d dans la proportion ${\displaystyle \scriptstyle a~.~b~:~c~.~d}$, elle se change en celle-ci, ${\displaystyle \scriptstyle a~.~a+m~:~c~.~c+m}$, où il n’entre plus que les antécédens a & c, & la différence commune m. Or il est évident que la somme des extrèmes est non-seulement égale, mais identique à celle des moyens.

Dans la proportion continue, b étant égal à c, ${\displaystyle \scriptstyle b+c=2c=a+d}$ ; c’est-à-dire qu’alors la somme des extrèmes est égale au double du terme moyen.

Réciproquement si l’on a ${\displaystyle \scriptstyle b+c=a+d}$, en ôtant ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {a+c}}}$ de chaque membre, vient ${\displaystyle \scriptstyle b-a=d-c}$, & par conséquent ${\displaystyle \scriptstyle a~.~b~:~c~.~d}$ ; c’est-à-dire que toute égalité (dont chaque membre est un binome) représente par l’un de ses membres la somme des moyens, & par l’autre celle des extrèmes d’une proportion, dans laquelle conséquemment elle peut se résoudre ; & comme d’ailleurs il est aisé de réduire chaque membre de toute égalité à être un binome (sans altérer sa valeur), la proposition devient générale.

Il suit qu’ayant une proportion, de quelque maniere qu’on juge à propos d’en déplacer les termes, pourvû qu’après le déplacement, les moyens restent toujours moyens, ou deviennent tous deux extrèmes, il y aura encore proportion, puisque l’égalité entre la somme des extrèmes & celle des moyens n’en sera point troublée. Je dis qu’il y aura proportion, mais ce ne sera pas toujours la même ; c’est-à-dire que les rapports pourront changer, quoiqu’ils restent toujours égaux entr’eux… On verra plus bas de combien de manieres se peuvent faire ces déplacemens, lorsqu’il s’agira de la proportion géométrique, pour laquelle ils sont plus d’usage que pour l’Arithmétique.

Puisque ${\displaystyle \scriptstyle b+c=a+d}$, ${\displaystyle \scriptstyle d=b+c-a}$, ayant donc les trois premiers termes (${\displaystyle \scriptstyle a~.~b~:~c}$) d’une proportion, on en trouvera toujours le quatrieme d, en ôtant le premier de la somme des moyens. On voit qu’il ne seroit pas plus difficile d’en trouver tel autre terme qu’on voudroit, dès qu’on connoîtroit les trois autres & l’ordre qu’ils gardent entr’eux dans la proportion.

Proportion géométrique. Soient les deux rapports géométriques ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {a~.~b}}}$ & ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {c~.~d}}}$, leurs exposans sont ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {b}{a}}}$ & ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {d}{c}}}$ : or si ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {b}{a}}={\frac {d}{c}}}$, les quatre termes qui les expriment peuvent être disposés en proportion. Pour cela il suffit d’écrire les deux rapports à la suite l’un de l’autre, les séparant par quatre points (∷), ${\displaystyle \scriptstyle a~.~b~::~c~.~d}$ ; ce qui s’énonce ainsi : a est à b comme c est à d, & signifie ici que dans l’un & dans l’autre rapport, chaque conséquent contient son antécédent, ou y est contenu précisément de la même maniere.

Si ${\displaystyle \scriptstyle a~.~b~::~c~.~d}$, on a (par la définition) ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {b}{a}}={\frac {d}{c}}}$ ; multipliant par ${\displaystyle \scriptstyle ac}$ chaque membre de cette égalité, elle se change en ${\displaystyle \scriptstyle bc=ad}$ ; ensorte que le premier membre contient le produit des deux moyens, & le second celui des deux extrèmes ; c’est-à-dire qu’en toute proportion géométrique, le produit des extrèmes est égal à celui des moyens. Ce qu’on pourroit encore démontrer de cette autre maniere.

Soit ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {b}{a}}=m}$, on aura aussi ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {d}{c}}=m}$ ; d’où l’on tire ${\displaystyle \scriptstyle b=am}$, & ${\displaystyle \scriptstyle d=cm}$ : & substituant ces valeurs de b & de d dans la proportion, ${\displaystyle \scriptstyle a~.~b~::~c~.~d}$ ; elle se change en celle-ci, ${\displaystyle \scriptstyle a~.~am~::~c~.~cm}$, où il est évident que le produit des extrèmes est non-seulement égal, mais identique à celui des moyens.

Dans la proportion continue ${\displaystyle \scriptstyle b=c}$, d’où ${\displaystyle \scriptstyle bc=cc=ad}$ ; c’est-à-dire qu’alors le produit des extrèmes est égal au quarré du terme moyen.

Réciproquement si l’on a ${\displaystyle \scriptstyle bc=ad}$, divisant chaque membre par ${\displaystyle \scriptstyle overline{ac}}$, vient ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {b}{a}}={\frac {d}{c}}}$, & par conséquent ${\displaystyle \scriptstyle a~.~b~::~c~.~d}$ ; c’est-à-dire que toute égalité (dont chaque membre est un produit de deux dimensions), peut se résoudre en une proportion, dont le produit des moyens est représenté par l’un des membres de l’égalité, & celui des extrèmes par l’autre. Et comme il est toujours aisé de réduire chaque membre de toute égalité à être un produit de deux dimensions (sans altérer sa valeur), la proposition devient générale.

Il suit qu’ayant une proportion, de quelque maniere qu’on juge à propos d’en déplace les termes, pourvû qu’après le déplacement les termes de même nom le conservent ou en changent tous deux, il y aura encore proportion, puisque l’égalité entre le produit des extrèmes & celui des moyens n’en sera point troublée. Mais la proportion ne sera pas toujours la même, c’est-à-dire que les rapports pourront changer, quoiqu’ils restent toujours égaux entr’eux.

La proportion fondamentale étant ${\displaystyle \scriptstyle a~.~b~::~c~.~d}$, il y a sept manieres d’en déplacer les termes, sous la condition prescrite ; mais de ces sept manieres, il n’y en a que deux qui aient mérité l’attention des anciens géometres, & auxquelles il leur ait plû de donner des noms particuliers.

Ils nomment alternando ou permutando celle-ci, ${\displaystyle \scriptstyle a~.~c~::~b~.~d}$, où l’on ne fait que transposer entr’eux les deux moyens.

Ils nomment invertendo cette autre, ${\displaystyle \scriptstyle b~.~a~::~d~.~c}$, où l’on ne fait que renverser chacun des deux rapports primitifs, mettant le conséquent à la place de l’antécédent, & réciproquement.

De la même proportion originaire, ${\displaystyle \scriptstyle a~.~b~::~c~.~d}$, en combinant diversement entr’eux par addition ou par soustraction, les antécédens & les conséquens, on en conclut encore plusieurs autres, & la légitimité de la conclusion se prouve en faisant voir (ce qui est très-facile) que la somme des extrèmes y est égale à celle des moyens.

1°. (En prenant pour l’antécédent de chaque raison la somme ou la différence des deux termes qui la composent), ${\displaystyle \scriptstyle a\pm b.b~::~c\pm d.d}$… c’est ce que les Géometres nomment componendo si c’est le signe + qu’on emploie, & dividendo si c’est le signe −.

2°. (En prenant au contraire pour conséquent de chaque raison la somme ou la différence des deux termes qui la composent), ${\displaystyle \scriptstyle a.a\pm b~::~c.c\pm d}$… c’est ce qu’on appelle convertendo.

3°. (En substituant à l’antécédent de la premiere raison la somme ou la différence des antécédens, & au conséquent la somme ou la différence des conséquens ; & prenant pour la seconde raison l’une ou l’autre des deux primitives) ${\displaystyle \scriptstyle a~\pm ~c~.~b~\pm ~d~{\text{::}}~{\begin{smallmatrix}a~.~b\\c~.~d\end{smallmatrix}}}$. Il résulte de ce dernier mode, que la somme des antécédens est à celle des consequens, comme celui qu’on voudra des antécédens est à son conséquent particulier. (Proposition qui a son usage).

Puisque (suprà) ${\displaystyle \scriptstyle bc=ad}$, ${\displaystyle \scriptstyle d={\frac {bc}{a}}}$. Ayant donc les trois premiers termes (${\displaystyle \scriptstyle a~.~b~::~c}$) d’une proportion, on en trouvera toujours le quatrieme d, en divisant le produit des moyens par le premier. C’est le fondement de cette regle si connue & d’un si grand usage, qu’on nomme regle de trois. Voyez son article. On voit au reste qu’il ne seroit pas plus difficile de trouver tel autre terme qu’on voudroit de la proportion, dès qu’on connoîtroit les trois autres, & l’ordre qu’ils y gardent entr’eux.

Deux proportions, ${\displaystyle \scriptstyle a~.~b~::~c~.~d}$, & ${\displaystyle \scriptstyle e~.~f~::~g~.~h}$, étant données, si l’on multiplie par ordre les termes de l’une par ceux de l’autre, les produits seront encore en proportion, & l’on aura ${\displaystyle \scriptstyle ae~.~fb~::~cg~.~dh}$… On l’aura prouvé, si l’on fait voir que ${\displaystyle \scriptstyle aedh=bfcg}$, ou ce qui est la même chose, que ${\displaystyle \scriptstyle ad\times eh=bc\times fg}$ : or c’est ce qui est évident ; car 1°. ${\displaystyle \scriptstyle ad=bc}$, puisque ${\displaystyle \scriptstyle a~.~b~::~c~.~d}$ ; 2°. ${\displaystyle \scriptstyle eh=fg}$, puisque ${\displaystyle \scriptstyle e~.~f~::~g~.~h}$. Mais les facteurs d’une part étant égaux aux facteurs de l’autre, les produits eux-mêmes ne peuvent manquer de l’être.

Ce qu’on vient de dire de deux proportions doit s’entendre de 3, de 4, &c… Si, au lieu de les multiplier, on les divise l’une par l’autre, les quotiens seront pareillement en proportion ; & on le démontrera par la même méthode & avec la même facilité.

Il suit que des racines proportionnelles donnent des puissances qui le sont aussi, & réciproquement ; car les puissances ne sont que des produits, comme les racines ne sont que des quotiens, d’une espece particuliere à la vérité, mais dont la singularité ne les soustrait pas à la loi générale qu’on vient d’établir. (Article de M. Rallier des Ourmes)

Proportion harmonique ou musicale, est une troisieme espece de proportion qui se forme des deux précédentes en cette sorte : si trois nombres sont tels, que le premier soit au troisieme, comme la différence du premier & du second est à la différence du second & du troisieme, ces trois nombres sont en proportion harmonique.

Ainsi les nombres 2, 3, 6, sont en proportion harmonique, parce que ${\displaystyle \scriptstyle 2~:~6~::~1~:~3}$ ; de même aussi quatre nombres sont en proportion harmonique quand le premier est au quatrieme, comme la différence du premier & du second est à la différence du troisieme & du quatrieme.

Ainsi 24, 16, 12, 9, sont en proportion harmonique, parce que ${\displaystyle \scriptstyle 24~:~9~::~8~:~3}$.

Si on continue la proportion dans le premier de ces deux cas, on formera une progression ou serie harmonique. Voyez Serie ou Suite.

1. Si trois ou quatre nombres en proportion harmonique, sont multipliés ou divisés par le même nombre, les produits ou quotiens seront aussi en proportion harmonique ; ainsi les nombres 6, 8, 12, qui sont en proportion harmonique étant divisés par 2, les quotiens 3, 4, 6, seront encore harmoniquement proportionnels, comme aussi les produits des nombres 6, 8, 12, par 2 ; c’est-à-dire 12, 16, 24.

2. Pour trouver un nombre moyen proportionnel harmonique entre deux nombres donnés, divisez le double du produit des deux nombres par leur somme, le quotient est le nombre cherché ; ainsi supposons que les nombres donnés soient 3 & 6, leur produit est 18, & le double de ce produit est 36, qui divisé par la somme 9 des deux nombres, donne 4 pour quotient ; donc 3 : 4 : 6, sont en proportion harmonique. La raison de cette opération est facile à trouver ; soit x le nombre cherché, a & b les deux nombres donnés, on a ${\displaystyle \scriptstyle a:b{\text{ :: }}x-a:b-x}$ ; donc ${\displaystyle \scriptstyle ab-ax=bx-ab}$ ; donc ${\displaystyle \scriptstyle x={\frac {2ab}{a+b}}}$ ; on peut démontrer à peu-près par la même méthode les propositions suivantes.

Pour trouver un nombre qui soit troisieme proportionnel harmonique à deux nombres donnés, appellez un des nombres donnés le premier terme, & l’autre le second ; ensuite multipliez-les l’un par l’autre, & divisez le produit par ce qui reste après que le second est soustrait du double du premier, le quotient sera le nombre cherché. Supposons par exemple que les deux termes donnés soient 3 & 4, leur produit 12 étant divisé par 2 (qui est la différence du second terme 4, du double 6, du premier terme 3), on aura pour quotient 6, & par conséquent 3, 4, 6, sont en proportion harmonique ; en général soient a, b les deux premiers nombres, x le troisieme, on aura ${\displaystyle \scriptstyle a:x{\text{ :: }}b-a:x-b}$, donc ${\displaystyle \scriptstyle ax-ab=bx-ax}$, donc ${\displaystyle \scriptstyle x={\frac {ab}{2a-b}}}$.

4. Pour trouver un quatrieme proportionnel harmonique à trois nombres donnés, multipliez le premier par le troisieme, & divisez le produit par le nombre qui restera après avoir soustrait le terme du milieu du double du premier, le quotient sera le nombre cherché ; par exemple, les trois nombres 9, 12, 16, auront suivant cette regle, le nombre 24 pour quatrieme proportionnel harmonique.

5. Si on prend un nombre moyen proportionnel arithmétique entre deux nombres, & un moyen proportionnel harmonique entre les deux mêmes nombres, les quatre nombres seront en proportion géométrique ; ainsi entre 2, 6, le moyen arithmétique est 4, & le moyen harmonique est 3, par conséquent ${\displaystyle \scriptstyle 2:3{\text{ :: }}4:6}$. En général le moyen proportionnel arithmétique est ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {a+b}{2}}}$, & le moyen proportionnel harmonique est ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {a+b}{2}}:a{\text{ :: }}b{\text{ :: }}{\frac {2ab}{a+b}}}$.

Il y a entre les trois sortes de proportions dont nous venons de parler, cette différence remarquable, qu’une progression arithmétique commençant par un nombre donné, peut être croissante à l’infini, mais non décroissante, que la progression harmonique peut décroître, mais non croître à l’infini ; qu’enfin la progression géométrique peut également croître à l’infini, & décroître de même. Voyez Progression.

Proportion contreharmonique, voy. Contreharmonique.

Proportion, se dit aussi du rapport qu’il y a entre des choses inégales de la même espece, & par lequel leurs différentes parties correspondent les unes aux autres par une augmentation ou diminution égale.

Ainsi en réduisant une figure en petit, ou en l’agrandissant, on doit avoir soin d’observer que la diminution ou l’agrandissement, soit la même à proportion dans toutes les parties ; ensorte que si une des lignes, par exemple, est diminuée du tiers de sa longueur, toutes les autres soient aussi diminuées chacune du tiers de leur longueur.

Pour ces sortes de réductions on fait beaucoup d’usage du compas de proportion. Voyez Compas, voyez aussi Echelle, Plan, Carte, Réduction, &c. Chambers. (E)

Au mot Consonnance, nous avons promis de parler ici d’un ouvrage donné il y a quelques années, par M. Briseux, architecte, dans lequel il se propose de prouver que les belles proportions en Architecture sont les mêmes que celles qui produisent les consonnances en musique. Cela n’est pas fort surprenant ; car les proportions qui forment les consonnances sont formées par des rapports très-simples, savoir ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {2}{1}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {3}{2}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {2}{4}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {6}{5}}}$, &c. & il n’est pas surprenant que ces mêmes rapports, très-simples, plaisent aussi en Architecture, parce que l’œil les saisit aisément. Il ne faut cependant pas pousser trop loin ce principe des proportions, ni en abuser, soit dans la théorie de la Musique, soit dans celle des autres arts. On peut voir sur cela l’article Consonance, & l’article Fondamental, pag. 62 du VII. volume. (O)

Proportion, (Log. Métaphys.) conformité de relation entre diverses choses, lorsque l’esprit pensant à deux objets, a conçu un rapport entre ces deux objets, & que pensant à deux autres choses, il y trouve aussi du rapport entr’elles ; cette conformité de pensées & de relations s’appelle proportion. (D. J.)

Proportion, (Beaux Arts.) rapport, convenance du tout & des parties entr’elles dans les ouvrages de goût.

L’unité & la variété produisent la symmétrie & la proportion : deux qualités qui supposent la distinction & la différence des parties, & en même tems un certain rapport de conformité entr’elles. La symmétrie partage, pour ainsi dire l’objet en deux, place au milieu les parties uniques, & à côté celles qui sont répétées ; ce qui forme une sorte de balance & d’équilibre qui donne de l’ordre, de la liberté, de la grace à l’objet. La proportion va plus loin, elle entre dans le détail des parties qu’elle compare entr’elles & avec le tout, & presente sous un même point de vûe l’unité, la variété, & le concert agréable de ces deux qualités entr’elles ; telle est l’étendue de la loi du goût par rapport au choix & à l’arrangement des parties des objets. La perfection consiste dans la variété, l’excellence, la proportion, la symmétrie des parties réunies dans l’ouvrage de l’art aussi naturellement qu’elles le sont dans un tout naturel. (D. J.)

Proportion, (Archit.) c’est la justesse des membres de chaque partie d’un bâtiment, & la relation des parties au tout ensemble ; comme, par exemple, une colonne dans ses mesures, par rapport à l’ordonnance du bâtiment ; c’est aussi la différente grandeur des membres d’architecture & des figures, selon qu’elles doivent paroître dans leur point de vûe. Ceci est une chose absolument soumise à cette partie de l’optique, qu’on appelle la perspective. Comme les regles de cette science sont connues & démontrées ; voyez Perspective dans le Dictionnaire universel de Mathématique & de Physique ; il est étonnant que les Architectes soient partagés sur la proportion des membres d’architecture, par rapport à leur point de vûe ; cependant les uns prétendent qu’ils doivent augmenter, suivant leur exhaussement, & les autres qu’ils doivent rester dans leur grandeur naturelle. Voyez le cours d’Architecture de M. Blondel, V. Partie ; les notes de M. Perrault, sur Vitruve ; & son ouvrage intitulé, Ordonnance des cinq especes de colonnes. Daviler. (D. J.)

Proportion de tuyaux, (Hydr.) Voyez Tuyau.

Proportion, (Jardinage.) la proportion ordinaire des jardins d’une médiocre étendue, est d’être un tiers plus longs que larges & même de la moitié, afin que les pieces en deviennent barlongues & plus agréables. Quand une place présente une forme deux fois plus longue que large, elle ne forme qu’un boyau.

Cette régle, au reste, n’a lieu qu’à l’égard des petits jardins.

Dans les pieces découvertes d’un jardin, comme seroient deux bosquets découverts sur les aîles d’un parterre ; il faut une certaine proportion, afin que l’on ne fasse pas paroître petite la piece qui accompagne ce parterre ; l’économie & le bon goût doivent décider dans cette occasion.

Si l’on veut pratiquer dans un bosquet une salle de verdure, & dans le milieu un bassin ou piece d’eau, loin de consommer pour cette salle la plus grande partie du terrein, en ôtant ce qui est nécessaire pour garnir le bois, il faut au contraire proportionner la grandeur de cette salle ou de la piece d’eau à l’étendue du bois.

Proportion, (Peint.) la proportion consiste dans les différentes dimensions des objets comparées entr’elles.

M. de Watelet dont nous tirerons cet article, croit que les premieres idées d’imitations dans la sculpture & dans la peinture, se sont portées naturellement à faire les copies égales aux objets imités : l’opération d’imiter de cette maniere est moins compliquée ; par conséquent elle est plus facile. Elle est moins compliquée en ce que, par l’effet d’une relation immédiate ; on exécute simplement ce que l’on voit, comme on le voit. Par cela même, elle est plus facile. Elle l’est encore, parce qu’à l’aide des mesures les plus simples, on peut s’assurer si l’on a réussi, & se corriger si l’on s’est trompé.

Les mesures sont donc les moyens par lesquels on parvient à s’instruire des proportions, & à en donner des idées justes.

Nous n’avons point de détails écrits sur les mesures que les Grecs employoient à régler la proportion ; leurs ouvrages didactiques sur les arts ne sont pas parvenus jusqu’à nous ; mais nous connoissons leurs statues. Heureux dans la part que la fortune nous a faite, nous ne devons pas nous en plaindre. Les beaux ouvrages valent mieux que les préceptes.

Les Allemands & les Italiens qui ont travaillé sur cette partie, tels qu’Albert Durer & Paul Lomazzo, font servir à mesurer le corps humain, une partie même de ce corps. Cette mesure est une espece de mesure universelle qui n’a rien à craindre des changemens d’usage, ou des variétés de dénomination.

Les uns mesurent la figure par le moyen de la longueur de la face : ce qu’on appelle la face, c’est l’espace renfermé depuis le menton inclusivement, jusqu’à l’origine des cheveux qui est le haut du front. D’autres prennent pour mesure la longueur de la tête entiere ; c’est-à-dire une ligne droite, qui, de la hauteur du dessus de la tête, se termine à l’extrémité du menton.

On sent qu’on ne doit pas mettre une importance considérable dans le choix de ces manieres de mesurer ; & que chaque artiste peut à son gré, choisir dans celles qu’on a imaginées, ou s’en faire une qui lui convienne.

Ce qui est certain, c’est que le trop grand détail des mesures est sujet à erreurs ; l’occasion la plus ordinaire de ces erreurs se présente, lorsqu’on mesure les parties qui ont du relief. Il est très-facile alors d’attribuer à la longueur d’un membre, l’étendue des contours occasionnés par les gonflemens accidentels des muscles & des chairs.

Au reste, il est très-peu d’usage d’employer en peinture les mesures détaillées, parce qu’elles ne peuvent avoir lieu lorsqu’un objet se présente en raccourci. D’ailleurs, leur usage froid & lent ne convient guere à un art qui veut beaucoup d’enthousiasme. Il faut cependant que les peintres aient une connoissance réfléchie de ces mesures, & qu’ils les aient étudiées en commençant à dessiner.

Le moyen de rendre l’étude des mesures réellement utile, est de la fonder premierement, sur l’ostéologie.

Les os sont la charpente du corps ; les lois de proportion que suit la nature dans les dimensions du corps & des membres, sont contenues dans l’extension qu’elle permet, & sont spécifiées dans les accroissemens limités qu’elle accorde aux parties solides. C’est en conséquence de ces accroissemens limités & successifs, que la nature ne se montre point uniforme dans les proportions du corps humain. Elle les varie principalement par les différens caracteres qui sont propres aux différens âges de la vie.

Premiere variété des proportions du corps, n’est point le diminutif exact des âges subséquens. L’enfance, à l’égard des proportions du corps, n’est point le diminutif exact des âges subséquens. Il ne s’agit donc pas pour représenter un enfant, de diminuer la taille d’un homme ; car alors on ne représenteroit qu’un petit homme, & non pas un enfant.

La tête, par exemple, est dans l’enfance beaucoup plus grosse, que dans les autres âges, par proportion aux autres parties. A trois ans la longueur de la tête, cinq fois répétée, forme toute la hauteur d’un enfant. A quatre, cinq & six ans ; la hauteur est de six jusqu’à six têtes & demie ; au lieu que dans l’âge fait, les proportions adoptées sont huit têtes pour la grandeur totale.

La proportions de sept têtes & deux parties, c’est-à-dire sept têtes & demie convient à un jeune homme à la fleur de son âge, & dont l’éducation efféminée n’a pas permis aux fatigues & aux exercices violens, le soin de développer entierement ses ressorts ; c’est ainsi que se trouvent proportionnés l’Antinoüs du vatican, & le Petus de la vigne Ludovise.

La proportion de huit têtes pour la figure entiere, est propre à représenter la stature d’un jeune homme dans la force de son âge, & dans l’exercice des armes ; c’est celle qui a été observée dans la statue du gladiateur mourant, qu’on voyoit à Rome dans la vigne Ludovise, & qui se voit présentement dans le capitole. Cette proportion est développée, svelte, légere, telle que l’offre la jeunesse exercée, car le développement de l’esprit s’opere par l’usage fréquent de ses facultés.

L’âge viril se caractérise par une dimension moins alongée. La statue d’Hercule, qu’on nomme l’Hercule Farnese, a sept têtes, trois parties, sept modules. Il sembleroit que l’artiste auroit voulu faire sentir par cette diminution, la consistence, & pour parler ainsi, l’appui que laissent prendre aux hommes de cet âge leurs mouvemens plus réfléchis, & moins impétueux.

L’approche de la vieillesse doit donner encore un caractere plus quarré, qui dénote l’appesantissement des parties solides. Le Laocoon n’a que sept têtes, deux parties, trois modules.

Dans l’extrème vieillesse enfin, le dépérissement réel occasionne différens changemens dans la proportion qui ne doivent plus être évalués.

L’artiste qui ne doit rien négliger de ce qui peut rendre ses figures caractérisées, évite de se borner à une seule proportion dans toutes ses figures ; & suivant l’exemple qu’en donne surtout Raphaël, il assortit, à chaque âge, la proportion & le caractere qui lui conviennent.

Différence de proportions occasionnée par la différence du sexe. Les variétés dans les proportions sont encore occasionnées par la différence du sexe.

Indépendamment de la hauteur totale qui est moindre dans les femmes, elles ont le col plus alongé, les cuisses plus courtes, les épaules & le sein plus serrés, les hanches plus larges, les bras plus gros, les jambes plus fortes, les piés plus étroits : leurs muscles moins apparens rendent les contours plus égaux, plus coulans, & les mouvemens plus doux.

Les jeunes filles ont la tête petite, le col alongé, les épaules abaissées, le corps menu, les hanches un peu grosses & les piés petits.

Les anciens donnent sept têtes & trois parties de hauteur à Vénus : telle est la statue de Vénus Médicis, & la proportion de la déesse Beauté.

La statue qu’on connoit sous le nom de la Bergere greque, qui peut-être est Diane, ou une de ses nymphes sortant du bain, a dans la proportion de sept têtes, trois parties & six modules, un caractere qu’elle doit sans doute à l’exercice de la chasse, & aux danses qui devoient rendre la taille des nymphes svelte & agile.

Peut-être trouveroit-on aussi dans les proportions des Minerves, des Junons, & des Cybeles, ces petites différences, qui, lorsque les arts sont arrivés à leur perfection, établissent des nuances moins sensibles à l’œil qui calcule, qu’au sentiment qui saisit, & au goût qui discerne.

L’âge & le sexe n’ont pas le droit exclusif de caractériser les proportions du corps humain. Le rang, la condition, la fortune, le climat & le tempérament contribuent à causer, dans les développement des proportions, des différences sensibles.

Il n’est pas nécessaire que les artistes s’appesantissent sur les effets de toutes ces causes, mais il ne peut être qu’agréable pour eux, & avantageux pour leur art, de faire des réflexions, & surtout des observations, dont les occasions se présentent continuellement dans la vie civile.

Ils remarqueront, par exemple, qu’il est des hommes dont la constitution & le tempérament occasionnent une proportion pesante. Leurs muscles paroissent peu distincts les uns des autres : ils ont la tête grosse, le cou court, les épaules hautes, l’estomac petit, les cuisses & les genoux gros, les piés épais. Et c’est ainsi que l’artiste grec, en ne faisant qu’effleurer toutes ces particularités, a caractérisé le jeune faune. Ils verront qu’il en est d’autres, d’après lesquels sans doute les anciens caractérisoient leurs héros & leurs demi-dieux, qui dans une conformation toute différente, ont les articulations des membres bien nouées, serrées, peu couvertes de chair, la tête petite, le col nerveux, les épaules larges & hautes, la poitrine élevée, les hanches & le ventre petits, les cuisses musclées, les principaux muscles relevés & détachés, les jambes seches par en-bas, les piés minces, & la plante des piés creuse.

Il n’est que trop vraissemblable que les mœurs occasionnent insensiblement des variétés physiques dans la constitution & dans le développement de la forme du corps. Les délicatesses qui président à l’enfance distinguée ou opulente, l’aversion des exercices du corps, qui détermine la jeunesse voluptueuse à partager les délices & la nonchalance des femmes, l’engourdissement prématuré, qui, dans l’âge viril, succede à l’abus excessif des plaisirs ; enfin la caducité précoce qui se fait sentir par une influence plus prompte & plus pesante dans les villes capitales des nations florissantes que partout ailleurs, doit de génération en génération, abatardir les races, & changer peut-être les proportions des corps.

Je ne parle pas des extravagances des modes, parce qu’elles n’ont point d’empire réel sur les dimensions que la nature a fixées : cependant elles en imposent trop souvent aux artistes assez foibles pour s’y prêter, & rendre plus vagues les idées de proportion, qu’il seroit à souhaiter, pour le progrès des arts, qu’on eût incessamment présentes dans leur plus grande exactitude.

On a considéré jusqu’ici, en parlant des proportions, le corps en repos ; ajoutons que le mouvement y occasionne des changemens très-distincts & très apparens.

Un membre étendu pour donner & recevoir, éprouve, par exemple, un accroissement ; & l’on observe une infinité de ces anomalies ou irrégularités dans les actions de compression, de relachement, d’extension, de fléchissement, de contraction & de raccourcissement.

Un homme assis à terre, qui se presse & fait effort pour ajuster à sa jambe une chaussure étroite, éprouve un raccourcissement d’un sixieme dans la partie antérieure du corps ; tandis que par un effet contraire, son bras en se courbant, s’alonge d’une huitieme partie, parce que la tête de l’os du coude se développe, & se montre pour ainsi dire hors de son articulation. On peut observer la même extension dans le calcaneum ou talon, lorsqu’on plie le coudepié.

Il est évident, par ces exemples, que les passions dont les mouvemens sont violens, doivent occasionner des différences sensibles dans les proportions : s’il est possible de les appercevoir, il est bien difficile de les réduire en calculs.

Toutes ces variétés de proportion sont principalement l’ouvrage de la nature ; mais l’art qui est son émule, ne pourroit-il pas prétendre aussi au droit d’en opérer, lorsqu’il les croit favorables à ses illusions ? Ne pourroit-on pas établir une théorie des rapports qui s’exerçât sur la diversité des positions, & des lieux où l’on place les ouvrages des arts ? Le vague de l’air, les oppositions des fabriques ou des arbres, les lieux vastes ou renfermés, élevés ou profonds, les expositions aux différens aspects du soleil, le voisinage des montagnes, des rochers, ou l’isolement dans une plaine ; voilà quels seroient les points de différences à établir, & peut-être de changemens à se permettre dans quelques-unes des dimensions reçues. Mais si l’art doit être flatté de pouvoir, pour ainsi dire, ajouter quelquefois à la nature, il doit être intimidé des risques qu’il court, lorsqu’il ose regarder les licences comme des sources particulieres de beauté.

Après tout, il ne faut jamais oublier que la justesse des proportions, autrement la correction du dessein, est pour les parties d’une seule figure, ce qu’est l’ordonnance pour les figures prises dans la totalité. Parrhasius fut le premier qui en donna les regles & la méthode pour la peinture, & Euphranor les appliqua le premier à la peinture encaustique. Pline avertit pourtant que le même Parrhasius donnoit trop peu d’étendue, en comparaison du reste, aux parties du milieu des figures, & ce qui revient au même, qu’Euphranor donnoit trop d’étendue à ses têtes & aux emmanchemens des membres. Asclépiodore ne méritoit ni l’un ni l’autre reproche, puisqu’Apelle convenoit lui-même de la supériorité de cet artiste sur tous les autres, pour la justesse des proportions. (D. J.)