Infini

Nom commun - français

infini \ɛ̃.fi.ni\ masculin

1. (Absolument) (Religion) Ce que l’on suppose sans limites, en parlant des choses divines.
   • L’homme ne peut bien concevoir l’infini.
2. (Mathématiques) Concept pour désigner ce qui est supérieur à tout nombre réel.
   • Pour démontrer cette proposition, nous supposerons d'abord que le nombre m tend vers l’infini en ne prenant que des valeurs entières et positives. — (Sylvestre François Lacroix, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, vol. 2, Gauthier-Villars 1867, p. 145)
   • L’infini est habituellement noté ∞.
3. (Philosophie) Ce qui n’est pas fini ; ce qui n’a pas de fin.
   • La métaphysique tout entière est attachée à la détermination de l’idée d’infini ; il n’est point de difficulté métaphysique qui ne naisse de l’opposition entre le fini et l’infini. — (Jules Simon, Introduction de Œuvres de Descartes, édition Charpentier à Paris, 1845)
   • La borne fut l'entrée de l’Hindostan. Le peuple voyageur se trouva en présence de trois infinis, dont un seul suffisait pour le troubler profondément. — (Jules Michelet, Bible de l'Humanité, Calmann-lévy, 1876, p.39)
   • Je dois mon premier contact précis avec la notion d’infini à une boîte de cacao de marque hollandaise, matière première de mes petits déjeuners. — (Michel Leiris, L’âge d’homme, 1939, collection Folio, page 34.)
4. (Plus courant) Nature, caractère de ce qui ne finit pas, ou semble ne pas finir.
   • Le silence devient plus dangereux que la parole, en communiquant aux yeux toute la puissance de l’infini des cieux qu’ils reflètent. — (Honoré de Balzac, La Femme de trente ans, Paris, 1832)
   • – Voici les murs de chez moi, le plafond de chez moi, le parquet de chez moi. On ne pense pas assez à ces choses qui nous protègent si humblement mais si sûrement de l’infini qui nous entoure. — (Jules Supervielle, Le voleur d’enfants, Gallimard, 1926, collection Folio, page 145.)
   • On eût dit que son regard, triste et lointain comme le regard des hommes qui ont longtemps vécu sur la mer ou dans les solitudes immenses, gardait comme un reflet de l’infini. — (Octave Mirbeau, Les eaux muettes)

Adjectif - français

infini \ɛ̃.fi.ni\ masculin

1. Qui n’a ni commencement ni fin, qui est sans bornes et sans limites.
   • L’éternité est infinie dans l’ordre du temps.
2. Qui ne doit pas avoir de fin.
   • La gloire, la béatitude infinie des saints.
3. (Par extension) Dont on ne peut assigner les bornes, le terme, etc.
   • Un espace infini. — Une durée infinie.
4. (Par hyperbole) Qui est très considérable en son genre, tant au sens physique qu’au sens moral.
   • Très intrigué, j’allais quérir une échelle ; je l’appliquai contre le mur et montai avec d’infinies précautions... — (Octave Mirbeau, Le colporteur,)
   • – Bigre ! — s’écria-t-il, avec un sentiment d’infinie vexation. — Quel idiot je suis ! J’aurais dû leur faire rendre leurs épées… — (H. G. Wells, La Guerre dans les airs, 1908, traduction d’Henry-D. Davray et B. Kozakiewicz, Mercure de France, Paris, 1910, page 359 de l’édition de 1921)
   • La plupart des astres sont placés à une distance infinie.
   • Cette jeune fille a une grâce infinie.
5. (En particulier) Innombrable.
   • Il y a un nombre infini d’auteurs qui ont écrit sur ce sujet.
   • Une infinie variété d’objets.
   • Des peines infinies.
   • Je vous ai des obligations infinies.
6. (Mathématiques) Qui est plus grand que n’importe quelle grandeur proposée ; qui est plus nombreux que n’importe quelle multitude proposée.
7. (Mathématiques) (Théorie des ensembles) Qui est équipotent ou de même cardinal que l’un de ses sous-ensembles propres, en parlant d’un ensemble.
   • L’ensemble ℕ des entiers naturels est infini, équipotent par exemple à son sous-ensemble des entiers naturels pairs.
   • D’une façon générale on dit que des objets sont en nombre infini, lorsque le nombre de ces objets dépend du nombre des entiers, de façon que ce dernier augmentant suffisamment, le premier augmente. — (Eugène Cahen, Théorie des nombres, tome 1, éd. A. Hermann et fils, Paris 1914, p. 71)
   • Souvent on considère l’ensemble fini ou infini de tous les nombres qui satisfont à certaines conditions précises. — (Charles-Jean de La Vallée Poussin, Cours d’Analyse Infinitésimale, vol. 1, 3ème éd., Louvain et Paris 1914, p. 9)

INFINI, IE. adj.
Qui n'a ni commencement ni fin, qui est sans bornes et sans limites. Il se dit en particulier de l'Être Suprême et absolu. Dieu ne peut être conçu que comme un être infini. L'éternité est l'infini dans l'ordre du temps. Spécialement, en parlant des Attributs de Dieu, La miséricorde de Dieu est infinie, sa puissance est infinie. Dans cette acception, il s'emploie comme nom et presque toujours absolument pour signifier Ce que l'on suppose sans limites. L'homme ne peut bien concevoir l'infini. Spécialement, en termes de Mathématiques, Le calcul de l'infini. La géométrie de l'infini. Il se dit également de Ce qui ne doit point avoir de fin. La gloire, la béatitude infinie des élus. Il se dit, par extension, de Ce dont on ne peut assigner les bornes, le terme, etc. Un espace infini. Une durée infinie. Il se dit encore, par exagération, tant au sens physique qu'au sens moral, de Tout ce qui est très considérable en son genre. La plupart des astres sont placés à une distance infinie. Cette jeune fille a une grâce infinie. Je vous en sais un gré infini. Nous eûmes une peine infinie à l'y déterminer. Il y a un temps infini que je suis de retour. Il se dit particulièrement pour Innombrable. Il y a un nombre infini d'auteurs qui ont écrit sur ce sujet. Une infinie variété d'objets. Des peines infinies. Des travaux infinis. Je vous ai des obligations infinies.

À L'INFINI, loc. adv., Sans fin, sans bornes, sans mesure. Il se dit principalement de Certaines choses auxquelles on peut toujours ajouter, comme le temps, l'espace, l'étendue et le nombre. Cela irait à l'infini. La divisibilité de la matière à l'infini. Progrès à l'infini. Supposer une ligne tirée, prolongée à l'infini. Multiplier un nombre à l'infini.

• 1Qui n'est pas fini, qui est sans bornes. Après avoir fait, ainsi que des fleuves, un peu plus de bruit les uns que les autres, ils [les hommes] vont tous se confondre dans ce gouffre infini du néant, où l'on ne trouve plus ni rois, ni princes, ni capitaines…, Bossuet, Gornay. Ce qu'on peut affirmer sans crainte, c'est que Dieu est infini, et que l'esprit de l'homme est bien borné, Voltaire, Dict. phil. infini. Pourquoi serait-il impossible qu'il y eût seulement une certaine quantité d'êtres ? Je conçois bien mieux la nature bornée que je ne conçois la nature infinie, Voltaire, Lett. à Mme***, 1776. Une chose infinie n'est même que cette chose finie à laquelle nous ôtons les termes et les bornes ; ainsi l'idée de l'infini n'est qu'une idée de privation et n'a point d'objet réel, Buffon, Homme, arithm. sociale.

  Il se dit des attributs de Dieu. Que s'il est une telle justice, souveraine et par conséquent inévitable, divine et par conséquent infinie, Bossuet, Anne de Gonz.

  Dont on ne peut assigner les bornes, le terme. Un espace infini. Une durée infinie.

  Qui ne doit pas avoir de fin. Qui nous dira qu'une justice infinie ne s'exerce pas à la fin par un supplice infini et éternel ? Bossuet, Anne de Gonz.

• 2 Par exagération, très grand en étendue, en durée. On a du haut de ce coteau une vue infinie. La mer infinie se déroulait à nos pieds. Je pense que vos conversations ont été bien infinies, Sévigné, 227. Il serait inutile de vous redire toutes nos conversations, vous les imaginez aisément, et cela rendrait cette lettre infinie, Sévigné, 380. Quelquefois je trouve une longueur infinie d'un ordinaire à l'autre, Sévigné, 15 nov. 1684. Combien de fois a-t-il essayé de bannir du palais ces lenteurs affectées et ces détours presque infinis que l'avarice a inventés… ! Fléchier, Lamoignon.

  Très grand en nombre, innombrable. Le sort donne aux plus grands, par d'infinis exemples, De sa légèreté des marques assez amples, Rotrou, Bélis. II, 9. Les compliments qu'on vous fait sont infinis, Sévigné, 15 avr. 1671. Cette bonne duchesse a quitté son cercle infini pour me venir voir, Sévigné, 15 mai 1689. Il voit Jérusalem prise et saccagée ; un pillage effroyable et des désordres infinis, Bossuet, Hist. II, 4. Les dépenses et les exactions étaient infinies, Bossuet, ib. I, 10. Des ouvrages infinis remplis de doctrine et de lumière paraissent pour aider à la piété des fidèles, Massillon, Or. fun. Louis XI. Que Moïse même malgré sa timidité… ait rendu ce peuple inquiet et intraitable, docile à des préceptes pénibles et infinis, Massillon, Panég. St Franç. Les devoirs infinis d'un pénible ministère, Massillon, Or. fun. Villars. Si vous sentez ces penchants infinis qui s'opposent encore en vous à la loi de Dieu, Massillon, Carême, Prière 1. On se prescrit des aumônes qui flattent la vanité et on se calme sur des restitutions infinies que la loi de Dieu nous prescrit, Massillon, Carême, Culte.

  Je serais infini, je ne finirais pas de dire, d'exposer. Disons le même des autres exemples ; je serais infini, si j'entreprenais de les parcourir tous, Bourdaloue, Dim. de la Septuagés. Dominic. t. I, p. 374.

  Fig. Quand je ne considérerais pas, monseigneur, les infinies obligations que je vous ai, Voiture, Lett. 83. Des deux côtés mon mal est infini, Corneille, Cid, I, 9. Je croirai toutefois mon bonheur infini, Corneille, Cinna, V, 3. J'aperçois Bélisaire ; opposez, Antonie, à ses vœux infinis une force infinie, Rotrou, Bélis. II, 3. Je suis extrêmement touchée de sa retraite [du cardinal de Retz] ; je vous manderai comme il s'y trouvera ; il nous paraît que son courage est infini, Sévigné, 26 juin 1675. [Pourquoi] vouloir affronter des travaux infinis ? Racine, Mithrid. III, 1. Combattu par ces agitations infinies qui partagent le cœur au moment d'un changement, Massillon, Carême, Prod. La dissipation infinie où nous avons vécu nous rend l'uniformité des devoirs plus ennuyeuse, Massillon, Carême, Dégoûts. Mes remords infinis Ont égalé mon crime et vengé mon pays, Voltaire, Brut. V, 7. Quand mes yeux, éclairés du feu de son génie, Le virent s'élever dans sa course infinie, Voltaire, Fanat. I, 4.

• 3 S. m. Ce dont la grandeur n'a point de limite ; on entend par infini non pas ce qui est actuellement sans bornes déterminées, mais ce qui ne peut pas absolument en recevoir, à quelque titre et en quelque rapport que ce soit. Mon entendement, qui est fini, ne peut comprendre l'infini, Descartes, Rép. aux 1res obj. 5. Ainsi se fait une espèce d'infini et d'éternel, Pascal, dans COUSIN. Manque d'avoir contemplé ces infinis, Pascal, ib. L'unique ressource qui reste à l'auteur, c'est de dire qu'il peut y avoir des infinis les uns plus grands que les autres, Fénelon, t. III, p. 178. Je ne puis comprendre qu'un infini réel hors de moi ait pu imprimer en moi, qui suis borné, une image ressemblante à la nature infinie, Fénelon, Exist. II, 1, Idée de l'infini. L'infini en durée est lié d'une chaîne non interrompue ; cet infini se perpétue dans l'instant même où je dis qu'il est passé ; le temps a commencé et finira pour moi, mais la durée est infinie, Voltaire, Dict. phil. Infini. L'infini ne peut se joindre au fini, Voltaire, Voyage de la Raison. Si l'on objecte qu'il y a un infini réel en géométrie, je réponds que non, Voltaire, Métaph. 3. On ne doit considérer l'infini, soit en petit, soit en grand, que comme une privation, un retranchement à l'idée du fini, Buffon, Ess. arith. mor. Œuv. t. X, p. 158. Et devant l'infini, pour qui tout est pareil, Il est donc aussi grand d'être homme que soleil ! Lamartine, Harm. II, 4.
• 4L'idée des choses infinies, de Dieu, de l'univers illimité. Pauvre nature humaine ! nous ne connaissons l'infini que par la douleur, Staël, Corinne, XIII, 6. Si la prière enfin de ses pleurs vous inonde, Et devant l'infini fait fléchir vos genoux, Lamartine, Harm. I, 11. Comme une goutte d'eau dans l'Océan versée, L'infini dans son sein absorbe ma pensée, Lamartine, Méd. I, 28.
• 5 Terme de mathématique. Nom donné aux quantités qui sont plus grandes que toute quantité assignable. Dès les premiers pas qu'on fait en géométrie on trouve l'infini, et dès les temps les plus reculés des géomètres l'ont entrevu, Buffon, Essai arithm. mor. Œuvres, t. X, p. 153.

  Le calcul de l'infini, la géométrie de l'infini, nom donné autrefois à ce qu'on nomme aujourd'hui calculs différentiel et intégral. Le terme était arrivé où la géométrie devait enfanter le calcul de l'infini, M. Newton trouva le premier ce merveilleux calcul, Rollin, Hist. anc. t. XIII, livre XXVII, chap. I, p. 134, dans POUGENS. Il [Newton] a inventé le calcul qu'on appelle de l'infini ; il a découvert et démontré un principe nouveau qui fait mouvoir toute la nature, Voltaire, Dict. phil. Newton et Descartes.

• 6À l'infini, loc. adv. Sans fin, sans bornes, sans mesure. Les nombres sont divisibles ou peuvent augmenter à l'infini. En recherchant les pères de mes pères, je ne pourrais pas continuer ce progrès à l'infini, Descartes, Rép. aux 1res obj. 5. La nature féconde Varie à l'infini les traits de ses dessins, Voltaire, Scyth. IV, 1.

  À l'infini, en mathématique, signifie souvent ce qui n'existe pas. Deux parallèles ne se rencontrent qu'à l'infini, c'est-à-dire ne se rencontrent pas ; et de même une hyperbole et ses asymptotes ne se rencontrent qu'à l'infini. Une parabole est une ellipse dont le second foyer est à l'infini, c'est-à-dire n'existe pas.

• 7Dans le langage ordinaire, à l'infini se prend, par exagération, pour beaucoup. Il y a une autre sorte d'importuns… dont le nombre… va presque déjà à l'infini, Guez de Balzac, liv. III, lett. 3. Nous avons causé à l'infini, Sévigné, 164. La Fayette est joli… il a un beau nom, il est dans le chemin de la guerre, et a tous les amis de sa mère, qui sont à l'infini, Sévigné, 25 sept. 1689. Dès lors on a bien prévu que, la licence n'ayant plus de frein, les sectes se multiplieraient jusqu'à l'infini, Bossuet, Reine d'Anglet.

  À l'infini, en retardant sans limite. Je vous demande… de ne point remettre à l'infini les remèdes que M. de la Rouvière veut que vous fassiez, Sévigné, 17 mars 1680.

INFINI, adj. (Métaphysiq.) Ce mot peut signifier deux choses, l’infini réel, & l’infini qui n’est tel que par un défaut de nos connoissances, l’indéfini, l’inassignable. Je ne saurois concevoir qu’un seul infini, c’est-à-dire que l’être infiniment parfait, ou infini en tout genre. Tout infini qui ne seroit infini qu’en un genre, ne seroit point un infini véritable. Quiconque dit un genre ou une espece, dit manifestement une borne, & l’exclusion de toute réalité intérieure, ce qui établit un être fini ou borné. C’est n’avoir point assez simplement consulté l’idée de l’infini, que de l’avoir renfermé dans les bornes d’un genre. Il est visible qu’il ne peut se trouver que dans l’universalité de l’être, qui est l’être infiniment parfait en tout genre, & infiniment simple.

Si on pouvoit concevoir des infinis bornés à des genres particuliers, il seroit vrai de dire que l’être infiniment parfait en tout genre seroit infiniment plus grand que ces infinis-là ; car outre qu’il égaleroit chacun d’eux dans son genre, & qu’il surpasseroit chacun d’eux en les égalant tous ensemble, de plus il auroit une simplicité suprème qui le rendroit infiniment plus parfait que toute cette collection de prétendus infinis.

D’ailleurs chacun de ces infinis subalternes se trouveroit borné par l’endroit précis où son genre se borneroit, & le rendroit inégal à l’être infini en tout genre.

Quiconque dit inégalité entre deux êtres, dit nécessairement un endroit où l’un finit & où l’autre ne finit pas. Ainsi c’est se contredire que d’admettre des infinis inégaux.

Je ne puis même en concevoir qu’un seul, puisqu’un seul par sa réelle infinité exclut toute borne en tout genre, & remplit toute l’idée de l’infini. D’ailleurs, comme je l’ai remarqué, tout infini qui ne seroit pas simple, ne seroit pas véritablement infini : le défaut de simplicité est une imperfection ; car à perfection d’ailleurs égale, il est plus parfait d’être entierement un, que d’être composé, c’est-à-dire que n’être qu’un assemblage d’êtres particuliers. Or une imperfection est une borne ; donc une imperfection telle que la divisibilité, est opposée à la nature du véritable infini qui n’a aucune borne.

On croira peut-être que ceci n’est qu’une vaine subtilité ; mais si on veut se défier parfaitement de certains préjugés, on reconnoîtra qu’un infini composé n’est infini que de nom, & qu’il est réellement borné par l’imperfection de tout être divisible, & réduit à l’unité d’un genre. Ceci peut être confirmé par des suppositions très-simples & très-naturelles sur ces prétendus infinis qui ne seroient que des composés.

Donnez-moi un infini divisible, il faut qu’il ait une infinité de parties actuellement distinguées les unes des autres ; ôtez-en une partie si petite qu’il vous plaira, dès qu’elle est ôtée, je vous demande si ce qui reste est encore infini ou non. S’il n’est pas infini, je soutiens que le total avant le retranchement de cette petite partie, n’étoit point un infini véritable. En voici la preuve : tout composé fini auquel vous rejoindrez une très-petite partie, qui en auroit été détachée, ne pourra point devenir infini par cette réunion ; donc il demeurera fini après la réunion ; donc avant la desunion il étoit véritablement fini. En effet qu’y auroit-il de plus ridicule que d’oser dire que le même tout est tantôt fini & tantôt infini, suivant qu’on lui ôte ou qu’on lui rend une espece d’atôme ? Quoi donc, l’infini & le fini ne sont-ils différens que par cet atôme de plus ou de moins ?

Si au contraire ce tout demeure infini, après que vous en avez retranché une petite partie, il faut avouer qu’il y a des infinis inégaux entr’eux ; car il est évident que ce tout étoit plus grand avant que cette partie fût retranchée, qu’il ne l’est depuis son retranchement. Il est plus clair que le jour que le retranchement d’une partie est une diminution du total, à proportion de ce que cette partie est grande. Or c’est le comble de l’absurdité que de dire que le même infini demeurant toujours infini, est tantôt plus grand & tantôt plus petit.

Le côté où l’on retranche une partie, fait visiblement une borne par la partie retranchée. L’infini n’est plus infini de ce côté, puisqu’il y trouve une fin marquée. Cet infini est donc imaginaire, & nul être divisible ne peut jamais être un infini réel. Les hommes ayant l’idée de l’infini, l’ont appliquée d’une maniere impropre & contraire à cette idée même à tous les êtres auxquels ils n’ont voulu donner aucune borne dans leur genre ; mais ils n’ont pas pris garde que tout genre est lui-même une borne, & que toute divisibilité étant une imperfection qui est aussi une borne visible, elle exclut le véritable infini qui est un être sans bornes dans sa perfection.

L’être, l’unité, la vérité, & la bonté sont la même chose. Ainsi tout ce qui est un être infini est infiniment un, infiniment vrai, infiniment bon. Donc il est infiniment parfait & indivisible.

De-là je conclus qu’il n’y a rien de plus faux qu’un infini imparfait, & par conséquent borné ; rien de plus faux qu’un infini qui n’est pas infiniment un ; rien de plus faux qu’un infini divisible en plusieurs parties ou finies ou infinies. Ces chimériques infinis peuvent être grossierement imaginés, mais jamais conçus.

Il ne peut pas même y avoir deux infinis ; car les deux mis ensemble seroient sans doute plus grands que chacun d’eux pris séparément, & par conséquent ni l’un ni l’autre ne seroit véritablement infini.

De plus, la collection de ces deux infinis seroit divisible, & par conséquent imparfaite, au lieu que chacun des deux seroit indivisible & parfait en soi ; ainsi un seul infini seroit plus parfait que les deux ensemble. Si au contraire on vouloit supposer que les deux joints ensemble seroient plus parfaits que chacun des deux pris séparément, il s’ensuivroit qu’on les dégraderoit en les séparant.

Ma conclusion est qu’on ne sauroit concevoir qu’un seul infini souverainement un, vrai & parfait.

Infini, (Géomet.) Géométrie de l’infini, est proprement la nouvelle Géométrie des infinimens petits, contenant les regles du calcul différentiel & intégral. M. de Fontenelle a donné au public en 1727 un ouvrage, intitulé Elémens de la Géométrie de l’infini. L’auteur s’y propose de donner la métaphysique de cette géométrie, & de déduire de cette métaphysique, sans employer presque aucun calcul, la plûpart des propriétés des courbes. Quelques géometres ont écrit contre les principes de cet ouvrage ; voyez le second volume du Traité des fluxions de M. Maclaurin. Cet auteur attaque dans une note le principe fondamental de l’ouvrage de M. de Fontenelle ; voyez aussi la Préface de la traduction de la méthode des fluxions de Newton, par M. de Buffon.

M. de Fontenelle paroît avoir cru que le calcul différentiel supposoit nécessairement des quantités infiniment grandes actuelles, & des quantités infiniment petites. Persuadé de ce principe, il a cru devoir établir à la tête de son livre qu’on pouvoit toûjours supposer la grandeur augmentée ou diminuée réellement à l’infini, & cette proposition est le fondement de tout l’ouvrage ; c’est elle que M. Maclaurin a cru devoir attaquer dans le traité dont nous avons parlé plus haut : voici le raisonnement de M. de Fontenelle, & ce qu’il nous semble qu’on y peut opposer.

« La grandeur étant susceptible d’augmentation sans fin, il s’ensuit, dit il, qu’on peut la supposer réellement augmentée sans fin ; car il est impossible que la grandeur susceptible d’augmentation sans fin soit dans le même cas que si elle n’en étoit pas susceptible sans fin. Or, si elle n’en étoit pas susceptible sans fin, elle demeureroit toûjours finie ; donc la propriété essentielle qui distingue la grandeur susceptible d’augmentation sans fin de la grandeur qui n’en est pas susceptible sans fin, c’est que cette derniere demeure nécessairement toûjours finie, & ne peut jamais être supposée que finie ; donc la premiere de ces deux especes de grandeurs peut être supposée actuellement infinie ». La réponse à cet argument est qu’une grandeur qui n’est pas susceptible d’augmentation sans fin, non seulement demeure toûjours finie, mais ne sauroit jamais passer une certaine grandeur finie ; au lieu que la grandeur susceptible d’augmentation sans fin, demeure toûjours finie, mais peut être augmentée jusqu’à surpasser telle grandeur finie que l’on veut. Ce n’est donc point la possibilité de devenir infinie, mais la possibilité de surpasser telle grandeur finie que l’on veut (en demeurant cependant toûjours finie) qui distingue la grandeur susceptible d’augmentation sans fin, d’avec la grandeur qui n’en est pas susceptible. Si l’on réduisoit le raisonnement de M. de Fontenelle en syllogisme, on verroit que l’expression n’est pas dans le même cas qui en seroit le moyen terme, est une expression vague qui présente plusieurs sens différens, & qu’ainsi ce syllogisme peche contre la regle qui veut que le moyen terme soit un. Voyez l’article Différentiel, où l’on prouve que le calcul différentiel, ou la géométrie nouvelle, ne suppose point à la rigueur & véritablement de grandeurs qui soient actuellement infinies ou infiniment petites.

La quantité infinie est proprement celle qui est plus grande que toute grandeur assignable ; & comme il n’existe pas de telle quantité dans la nature, il s’ensuit que la quantité infinie n’est proprement que dans notre esprit, & n’existe dans notre esprit que par une espece d’abstraction, dans laquelle nous écartons l’idée de bornes. L’idée que nous avons de l’infini est donc absolument négative, & provient de l’idée du fini, & le mot même négatif d’infini le prouve. Voyez Fini. Il y a cette difference entre infini & indéfini, que dans l’idée d’infini on fait abstraction de toutes bornes, & que dans celle d’indéfini on fait abstraction de telle ou telle borne en particulier. Ligne infinie est celle qu’on suppose n’avoir point de bornes ; ligne indéfinie est celle qu’on suppose se terminer où l’on voudra, sans que sa longueur ni par conséquent ses bornes soient fixées.

On admet en Géométrie, du moins par la maniere de s’exprimer, des quantités infinies du second, du troisieme, du quatrieme ordre ; par exemple, on dit que dans l’équation d’une parabole ${\displaystyle \scriptstyle y={\frac {x^{2}}{a}}}$, si on prend x infinie, y sera infinie du second ordre, c’est-à-dire aussi infinie par rapport à l’infinie x, que x l’est elle-même par rapport à a. Cette maniere de s’exprimer n’est pas fort claire ; car si x est infinie, comment concevoir que y est infiniment plus grande ? voici la réponse. L’équation ${\displaystyle \scriptstyle y={\frac {x^{2}}{a}}}$ représente celle-ci ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {y}{x}}={\frac {x}{a}}}$, qui fait voir que le rapport de y à x va toûjours en augmentant à mesure que x croît, ensorte que l’on peut prendre x si grand, que le rapport de y à x soit plus grand qu’aucune quantité donnée : voilà tout ce qu’on veut dire, quand on dit que x étant infini du premier ordre, y l’est du second. Cet exemple simple suffira pour faire entendre les autres. Voyez Infiniment petit.

Arithmétique des infinis, est le nom donné par M. Wallis à la méthode de sommer les suites qui ont un nombre infini de termes. Voyez Suite ou Série & Géométrie. (O)