Pair

Nom commun - ancien français

pair \Prononciation ?\ masculin

1. Chaudron.
   • Un grant pair. — (1350, inventaire du château de Nervieux)

Adjectif - français

pair \pɛʁ\

1. Qui est égal, semblable, pareil.
   • C’est un homme sans pair.
2. (Mathématiques) Dont la division par deux résulte en un nombre entier.
   • Le nombre deux est le seul nombre pair qui soit premier.
   • La série paire, la série impaire des numéros.
   • Années paires.
   • ARGAN : Monsieur, combien est-ce qu’il faut mettre de grains de sel dans un œuf ?
     MONSIEUR DIAFOIRUS : Six, huit, dix, par les nombres pairs, comme dans les médicaments, par les nombres impairs. — (Molière, Le Malade imaginaire, acte II, scène 6, 1673)
3. (Mathématiques) Un nombre entier est dit pair quand il est divisible par deux. Par exemple, dix est un nombre pair.
4. (Mathématiques) Se dit d’une fonction à variable réelle qui prend la même valeur en un réel donné qu’en l’opposé de ce réel donné.
   • La fonction cosinus est paire.
5. (Anatomie) Qui présente une symétrie bilatérale.
   • Le cerveau, constitué de deux hémisphères peu ou prou identiques, est un organe pair.

Nom commun - français

pair \pɛʁ\ masculin

1. Personne de même condition et de même rang dans l’état.
   • Le trisaïeul de son trisaïeul était l’égal, le compagnon, le pair du roi ; à ce titre il est lui-même d’une classe privilégiée, celle des gentilshommes […] — (Hippolyte Taine, Philosophie de l’art, Germer Baillière, Paris, 1865, page 134)
   • Elle ne répond pas ; elle ne se penche point : c’est la duchesse. Je la tiens donc, celle qui ne veut embrasser que ses pairs et refusa, le jour où elle eut trente ans, à la dernière Assomption, de serrer la main du paysan qui lui offrait le bouquet des métayers. Si je les vengeais, et la dénonçais soudain, au beau milieu de la fête. — (Jean Giraudoux, Provinciales, Grasset, 1922, réédition Le Livre de Poche, page 63)
   • Elle l’appelait « chef » pour la première fois, entrevoyant que la substitution des contrats lui ouvrait la voie à une position nouvelle, où elle traiterait désormais avec lui de pair à compagnon. — (Christophe Carlier, L’Euphorie des places de marchés, Serge Safran Éditeur, Paris, 2013, p. 169)
   • Être jugé par ses pairs. — Ses pairs ont approuvé sa décision.
2. (Histoire) (Noblesse) Titre de dignité porté au Moyen Âge par les grands vassaux du roi.
   • Il y avait six pairs ecclésiastiques. — Les douze pairs de France.
3. (Histoire) Seigneur qui possédait des terres érigées en pairies et qui avaient droit de séance au parlement de Paris.
   • La cour des pairs. — Le roi fit tel seigneur duc et pair.
4. (Histoire) Membre de la Chambre des pairs en France de 1815 à 1848.
   • Je vais aller prendre des leçons près d’elle : elle a su faire d’un mari bien médiocre un pair de France, d’un homme nul une capacité politique. — (Honoré de Balzac, La Femme de trente ans, ch. III, Paris, 1832 ; p. 81)
   • […] l’assassinat de la duchesse de Praslin, par son mari, pair de France, accrurent l’irritation publique. — (Alfred Barbou, Les Trois Républiques françaises, A. Duquesne, 1879)
5. Membre de la Chambre des Lords en Angleterre.
   • Aussi l’Angleterre admet-elle les majorats dans les grandes familles, chez les pairs du royaume, tandis que la France défend aux parents d’exhéréder leurs enfants, ne leur laisse la libre disposition de ce qu’ils possèdent que dans de certaines limites […] — (Alfred Naquet, Vers l’union libre, E. Juven, Paris, 1908, page 22)
6. Mâle ou femelle de certains oiseaux, et particulièrement de la tourterelle, en parlant de l’un par rapport à l’autre.
   • Quand la tourterelle a perdu son pair.
7. (Économie) Parité de change qui résulte de la comparaison du prix d’une espèce dans un pays avec le prix de la même espèce dans un autre pays.
   • Le change est au pair.
8. Personne faisant le même métier, occupant la même profession, une fonction similaire.
   • Leurs recherches, qui n'ont pas encore été évaluées par les pairs, se fondent sur une étude menée entre avril et novembre 2020 auprès de 12 180 soignants employés dans les hôpitaux universitaires d'Oxford. — (AFP, Jusqu'à six mois d'immunité après avoir contracté la COVID, Le Journal de Montréal, 21 novembre 2020)
   • Dr Chaïmaa Abdel-Illah a toujours cru dans le rôle de la Femme et s’est battue pour l’autonomisation de ses paires, soulignant qu’Eve est capable d’assumer n’importe quelle responsabilité ou fonction. — (Le progrès égyptien, Le ministre de la Jeunesse décore Dr Chaïmaa Abdel-Illah, première Femme Rédactrice en Chef du Progrès Egyptien, progres.net.eg, 16 décembre 2020)

PAIR. adj. m.
Qui est égal, semblable, pareil. C'est un homme sans pair. Il se dit substantivement des Hommes de même condition et de même rang dans l'État. Vivre avec ses pairs. Être jugé par ses pairs.

DE PAIR, loc. adv. D'égal, d'une manière égale, sur le même rang. Il marchait de pair avec les grands seigneurs. Il va de pair avec les plus savants. Vivre avec quelqu'un, traiter quelqu'un de pair à compagnon, Le traiter comme si on était son égal. Cela se dit plus ordinairement en parlant d'un Inférieur qui vit trop familièrement avec une personne qui est au-dessus de lui.

HORS DE PAIR, loc. adv. Au-dessus de ses égaux. Il s'est mis, il s'est tiré hors de pair.

PAIR se dit, en termes d'Arithmétique, de Tout nombre qui peut se diviser exactement par le nombre deux. Deux, quatre, six sont des nombres pairs. Dans ce sens, Pair a un féminin. La série paire, la série impaire des numéros. Années paires. Pair et impair, Sorte de jeu qui se joue avec trois dés.

PAIR se dit encore substantivement du Mâle ou de la femelle de certains oiseaux, et particulièrement de la tourterelle, en parlant de l'un par rapport à l'autre. Quand la tourterelle a perdu son pair. Il désigne, en termes de Commerce, l'Égalité de change qui résulte de la comparaison du prix d'une espèce dans un pays avec le prix de la même espèce dans un autre pays. Le change est au pair. En termes de Bourse,

PAIR se dit de l'Égalité entre le capital nominal d'une valeur et son cours actuel. Acheter une valeur au pair. La rente est au pair. Fig., Être au pair, N'avoir point d'arriéré dans ses occupations. J'étais en retard dans mon travail, maintenant je suis au pair, je me suis mis au pair. Figurément et adverbialement, Prendre quelqu'un au pair, Employer quelqu'un sans lui donner d'autre rémunération que son logement et sa nourriture.

PAIR était aussi un Titre de dignité que portaient les Grands vassaux du roi. Il s'est dit plus tard de Ceux qui possédaient des terres érigées en pairies et qui avaient droit de séance au parlement de Paris. Il y avait six pairs ecclésiastiques. L'archevêque de Reims était le premier duc et pair. La cour des pairs. Le roi fit tel seigneur duc et pair. Il s'est dit encore des Membres de la Chambre qui, sous la monarchie constitutionnelle, exerçait la puissance législative avec le roi et la Chambre des députés. La chambre des pairs. Les pairs de France. Les Douze pairs de France ou de Charlemagne, se dit, dans les Chansons de geste, de Douze preux que l'on suppose attachés à la personne de Charlemagne, comme ses lieutenants et les plus braves chevaliers de ses armées.

• 1Égal, semblable, pareil ; ne se dit plus, en ce sens, que dans la locution : sans pair. Elles [deux chèvres] avaient la gloire De compter dans leur race, à ce que dit l'histoire, L'une certaine chèvre au mérite sans pair…, La Fontaine, Fabl. XII, 4. Paris sans pair n'avait en son enceinte Rien dont les yeux semblassent si ravis Que de la belle, aimable et jeune Aminte, La Fontaine, Aveux indiscrets. Pour ce seul point croirais qu'on l'a nommée Paris sans pair…, Rousseau J.-B. Allég. II, 1.
• 2 Terme d'arithmétique. Nombre pair, nombre divisible par deux.

  Qui est d'un rang pair, en arithmétique. Les tranches paires des chiffres d'un nombre, c'est-à-dire la deuxième, la quatrième, etc. Des années paires. Cela fit 57 jours, dont ils [les Romains] composèrent deux nouveaux mois, janvier de 29 et février de 28, qui, parce qu'il était le seul qui fût pair, devint un mois malheureux ; on le dédia aux morts, il fut le mois des expiations, Bailly, Hist. astr. anc. p. 436.

  Pair ou non, jeu où l'on donne à deviner si le nombre des objets qu'on tient dans la main est pair ou impair. On te propose pair ou non ; tu choisis pair, et tu n'en vois pas le motif, Voltaire, Newt. I, 4. B : Quoi ! lorsque je joue à pair ou non, j'ai une raison de choisir pair plutôt qu'impair ! - A : Oui, sans doute, Voltaire, Dict. phil. Liberté.

  Pair et impair, sorte de jeu qui se joue avec trois dés.

  Sur le turf, pair ou impair, pari consistant à choisir, d'après les chances des chevaux engagés, la série paire ou la série impaire.

  Se dit, à la belle, de la totalité des nombres pairs des six premières et six dernières colonnes droites. Pairs du grand côté, nombres pairs que contiennent les six dernières colonnes droites.

  Terme de plain-chant. Ton ou mode pair, se dit des quatre tons plagaux.

  Terme d'histoire naturelle. Qui est divisible en deux parties ayant entre elles des rapports marqués de disposition et placées des deux côtés d'un plan. Des folioles paires.

• 3S. m pl. Dans le régime féodal, les pairs, ceux qui étaient de même condition. On devait être jugé par ses pairs. Il faut même que les juges soient de la condition de l'accusé, ou ses pairs, Montaigne, Esp. XI, 6. Il ne vous appartient point de décider ; si vous le faites, je me pourvoirai devant mes pairs, Voltaire, Mœurs, 51. Quels juges, dites-moi, pourrais-je reconnaître ? Où sont mes pairs ici ? les rois seuls peuvent l'être, P. Lebrun, Marie Stuart, I, 7.

  Aujourd'hui, les pairs, les égaux. Vivre avec ses pairs. Il est équitable, il juge ses pairs, Rousseau, Ém. IV. Il est agréable d'être jugé par ses pairs, D'Alembert, Lett. au roi de Pr. 22 août 1772.

  Au sing. Ne se dit que dans cette locution : pair et compagnon. La Vienne était un gros homme, frais, rustre, très volontiers brutal, pair et compagnon avec tout le monde, Saint-Simon, 52, 123.

  De pair à compagnon, sur le pied de l'égalité, surtout en parlant d'un inférieur qui vit trop familièrement avec une personne qui est au-dessus de lui. Ce chien, parce qu'il est mignon, Vivra de pair à compagnon Avec monsieur, avec madame ! La Fontaine, Fabl. IV, 5. Me voilà donc côte à côte de mon ami de qualité, et de pair à compagnon avec un homme à qui par hasard j'aurais fort bien pu cinq mois auparavant tenir la portière ouverte de ce carrosse, Marivaux, Pays. perv. part. V.

• 4Le mâle ou la femelle de certains oiseaux, et particulièrement de la tourterelle. La tourterelle a perdu son pair.
• 5Dans le régime féodal, les principaux vassaux d'un seigneur, qui avaient entre eux également droit de juger avec lui. Les pairs du comte de Toulouse. Si le seigneur n'avait point de pairs, ou n'en avait point assez, il pouvait, à ses frais, emprunter des pairs de son seigneur suzerain, Montesquieu, Esp. XXVIII, 27.

  Chacun des grands vassaux du roi. Il y avait six pairs ecclésiastiques. Il faut remarquer que ces six pairs ecclésiastiques furent les seuls de leur ordre qui eurent le nom de pairs depuis Louis le Jeune, par la seule raison que, sous ce prince, ils étaient les seuls évêques qui tinssent de grands fiefs immédiatement de la couronne, Voltaire, Hist. parl. IX.

  Les douze pairs de France ou de Charlemagne, se dit, dans les romans de chevalerie, de douze paladins que l'on suppose avoir été attachés à la personne de Charlemagne, comme les plus braves chevaliers de ses armées. Les faits d'un roi [Louis XIV] plus grand en sagesse, en vaillance, Que Charlemagne aidé des douze pairs de France, Boileau, Ép. X.

  Plus tard, ceux qui possédaient des terres érigées en pairies et qui avaient droit de séance au parlement de Paris. Les douze pairs de France. Ceux qui disent que les pairs du royaume ne peuvent être jugés par les pairs et par le roi, sans le parlement de Paris, me paraissent ignorer l'histoire de France, Voltaire, Lett. Mme du Deffant, 8 août 1770. On sait que le duc d'Alençon a été le premier pair de France au jugement duquel le parlement ait pris part, Boissy D'Anglas, Instit. Mém. hist. et litt. anc. t. IV, p. 568. " Loin de nous la pensée de casser et de regarder comme frivole le jugement des douze pairs, par lequel le roi d'Angleterre [Jean sans terre] a été jugé et dépouillé de la Normandie (paroles de la noblesse française, en réponse à Louis IX, en 1252) ; " telle est la circonstance où, pour la première fois, les douze pairs sont cités dans l'histoire ; vainement chercherait-on l'indication de cette dignité dans un acte public, ou dans une charte particulière, antérieure à ce procès, Beugnot, Olim, Préface, p. XLIX.

  Fig. Satan dit un jour à ses pairs : On en veut à nos hordes, Béranger, Miss.

  Duc et pair, seigneur qui avait le titre de duc et celui de pair. Il [Mopse] entre dans une assemblée, se place où il se trouve… on l'ôte d'une place destinée à un ministre, il s'assied à celle du duc et pair, La Bruyère, II. J'ai fait plus que maint duc et pair Pour mon pays que j'aime, Béranger, Vivand.

  Membre de la chambre haute en Angleterre. Les pairs, en Angleterre, sont depuis longtemps des gentilshommes comme en France ; mais ils n'ont point de pairie, point de terre à laquelle ce titre soit attaché, Voltaire, Hist. parl. VIII. Ministres suprêmes des lois dans la chambre des pairs, quelquefois même législateurs, nous rendons également justice au peuple et au roi, et nous ne souffrons point que personne dise, Dieu et mon épée, mais seulement Dieu et mon droit, Rousseau, Hél. I, 62.

  Membre de la chambre haute en France sous la Restauration, pendant les Cent-Jours, et sous le règne de Louis-Philippe.

• 6 Terme de commerce. Le pair, l'égalité de change des espèces de différents pays. Lorsque le change est plus bas que le pair, un négociant peut, sans diminuer sa fortune, remettre ses fonds dans les pays étrangers, Montesquieu, Esp. XXII, 10. Le pair du change entre deux pays est la somme de monnaie de l'un qui est, en valeur intrinsèque, précisément égale à une somme de monnaie de l'autre, c'est-à-dire qui contient un poids égal d'or ou d'argent au même titre, De Waru, Enquête sur la banque, 1867, p. 177.

  Pair réel, celui qui résulte de la comparaison du titre, du poids et du cours d'une espèce d'un pays, avec le titre, le poids et le prix d'une autre espèce dans un autre pays.

  Pair politique, celui qui résulte de la combinaison des prix de change de plusieurs places, et par le moyen duquel les banquiers découvrent des prix d'égalité qui les déterminent dans leurs opérations.

  Le change est au pair, il est égal de part et d'autre, en sorte que, pour une somme qu'on donne en un endroit, on reçoit pareille somme dans un autre. Lorsque même titre et même poids d'argent en France me rendent même poids et même titre en Hollande, on dit que le change est au pair, Montesquieu, Esp. XXII, 10.

• 7 Terme de bourse. Le pair, parité entre le capital d'une action, ou d'une obligation, ou d'une rente, et le prix vénal de cette action, de cette obligation, de cette rente à un moment donné.

  La rente est au pair, elle se vend et s'achète au prix indiqué par son nom. Le 3 p. 100 est au pair quand on donne 100 francs pour avoir 3 francs de rente.

• 8Au pair, au courant de la besogne. Je n'ai pas de besogne arriérée, je suis au pair.
• 9De pair, loc. adv. Sur le même rang. La postérité fait marcher de pair l'excellent poëte et le grand capitaine, Racine, Réponse au disc. de réception de Th. Corneille. L'homme coquet et la femme galante vont assez de pair, La Bruyère, III. Assez coquette pour ne rebuter personne, assez magnifique pour vouloir aller de pair avec celles qui l'étaient le plus, Hamilton, Gramm. 6. La petite ridicule ! une nièce vouloir aller de pair avec sa tante ! Dancourt, Chev. à la mode, I, 3. Vous êtes Grand Seigneur, et moi je suis jolie, On peut aller de pair, Favart, Soliman II, II, 3. Là [dans une maison de jeu], sans distinction on voit aller de pair Le laquais d'un commis avec un duc et pair, Regnard, le Joueur, III, 6. Passer de chez un petit maître au service d'une héroïne de théâtre, c'est être toujours dans le même monde ; nous allons de pair avec les gens de qualité, Lesage, Gil Bl. III, 9. Cherchant les courtisans et les gens du bel air, Imitant leur exemple et les traitant de pair, Campistron, Jaloux désabusé, I, 1. Rien dans la nature ne peint mieux la puissance et les droits du courage, que de voir ce petit oiseau [la pie-grièche], qui n'est guère plus gros qu'une alouette, voler de pair avec les éperviers, les faucons et tous les autres tyrans de l'air, sans les redouter, et chasser dans leur domaine sans craindre d'être puni, Buffon, Ois. t. II, p. 68.

  Il se dit aussi des choses. La mollesse et le plaisir ont trouvé le secret d'aller de pair avec la valeur et le courage, Massillon, Or. fun. Louis XI. Oh ! je ne sache point d'aventure qui aille de pair avec la vôtre, Marivaux, Surpr. de l'amour, I, 8.

  Dans la première moitié du XVII^e siècle, on préférait du pair. …C'était un Nabis qui pourlors était tyran de Lacédémone, mais qui, si on le laissait faire, le serait bientôt de toute la Grèce, et tel qu'il irait du pair avec les plus cruels et les plus avares dont on eût jamais ouï parler aux siècles passés, Malherbe, Le XXXIIIe livre de T. Live, ch. 44. Que se peut-il ajouter à cette impudence, sinon qu'ouvertement ils se plaignent que les dieux sont au-dessus de l'homme, et qu'ils ne l'ont pas fait aller du pair avec eux ? Malherbe, le Traité des bienf. de Sénèque, II, 29. Je vous dis ceci afin que… vous descendiez quelquefois de votre Angoulême, où vous allez du pair avec nos tours et nos clochers, Guez de Balzac, liv. I, lett. 6. Dès vos premiers exploits, vous ayant mis avec raison du pair avec Alexandre et voyant que de jour en jour vous vous élevez davantage ; en vérité, monseigneur, nous ne saurions où vous mettre…, Voiture, Lett. 181. Il n'y a rien qui mette plus subitement un homme à la mode, et qui le soulève davantage que le grand jeu : cela va du pair avec la crapule, La Bruyère, XIII.

• 10Hors de pair, hors du pair, loc. adv. Au-dessus de ses égaux, au-dessus des choses semblables. J'aime bien mes autres enfants, comme vous aimez fort M. de Sévigné, mais assurément nos deux filles sont hors du pair, Bussy-Rabutin, Let. à Mme de Sév. 3 janv. 1676. Dès lors il ne fut plus question du chœur en intermède, jusqu'à l'Athalie de Racine, pièce unique dans son genre et absolument hors de pair, Marmontel, Élém. de litt. t. VI, p. 125.

  Tirer du pair ou de pair, distinguer. Elle tirera particulièrement hors du pair et mettra au-dessus de toutes choses la personne de monseigneur le duc d'Orléans, Guez de Balzac, Discours à la régente. La reine traita Monsieur de perfide, et elle ne me tira de pair que pour me faire encore plus sentir qu'elle ne me traitait pas mieux, Retz, III, 322. J'ai cherché les moyens… De pouvoir garantir mon front de tous affronts, Et le tirer de pair d'avec les autres fronts, Molière, Éc. des f. IV, 7.

  Il s'est tiré du pair, il est hors du pair, se dit d'un homme qui s'est élevé au-dessus des autres. Si je résiste à chose si gentille, J'atteins le comble et me tire du pair, La Fontaine, Diable. Ils [les pharisiens] se tiraient hors du pair ; et, comme s'ils eussent été les seuls impeccables, ils parlaient toujours des pécheurs et des publicains, Bossuet, Serm. Jugem. hum. 1. Ô homme puissant et superbe, qui pensiez par votre grandeur vous être tiré du pair, Bossuet, Serm. Ambition, 1. S'aller tirer du pair de ses patients compatriotes, Hamilton, Gramm. 9.

PAIR, (Arithm.) adj. c’est une des branches de la division la plus simple & la plus générale des nombres. Un nombre pair est celui qui se peut exactement diviser par 2.

Tout nombre pair est essentiellement terminé vers la droite par un chiffre pair ou par 0 ; car ceux qui précedent étant tous des multiples de ${\displaystyle \scriptstyle 10=5\cdot 2}$, sont conséquemment divisibles par 2, & jusque-là le nombre est pair. Pour qu’il reste tel, il faut donc que le dernier chiffre ait lui-même la propriété, ou du-moins qu’il ne l’altere point, c’est-à-dire qu’il soit pair ou 0.

Un nombre pair devient impair par l’addition ou par la soustraction de l’unité ; car dès-là la division exacte par 2 ne peut plus avoir lieu.

Deux nombres sont dits de même nom, quand ils sont tous deux pairs ou tous deux impairs ; & de différent nom, quand l’un étant pair l’autre est impair. Un nombre pair étant combiné avec un autre nombre quelconque a ; si c’est par addition ou par soustraction, la somme ou la différence sont de même nom que a.

Si c’est par multiplication, le produit est toujours pair.

De-là même il suit qu’un nombre pair ne peut diviser exactement un nombre pair, car il ne peut diviser que ce qu’il a produit.

S’il s’agit d’exaltation & d’extraction, une racine exprimée par un nombre pair donne une puissance de même nom, & réciproquement.

Telles sont les principales propriétés du nombre pair pris en général.

On pourroit demander ici à quel nom il convient de rapporter 0 . . . . Il est certain qu’il n’est ni nombre pair ni nombre impair, puisqu’il n’est point nombre ni grandeur ; mais à le considérer purement comme signe ou chiffre, on ne peut s’empêcher de reconnoître que tous les caracteres de pair lui conviennent parfaitement.

1°. Il détermine à être pair le nombre qu’il termine.

2°. Il devient impair, & même nombre impair par l’addition ou par la soustraction de l’unité.

3°. Il est, par lui-même, & sans être associé à d’autres chiffres, habile à figurer en certaines progressions arithmétiques, comme dans celle-ci (0m. 2m. 3m, &c.) & il y figure toujours comme terme pair. En effet, si m est pair, les termes de la progression le sont tous, & par conséquent celui que représente 0 : si m est impair, les termes de la progression ne sont pairs que de deux-en-deux, mais 0 appartient invariablement à la suite des termes pairs.

Mais Œ∞, ou l’infini, de quel nom sera-t-il ? Dans cette suite, par exemple, (0. 1. 2. . . . . . . ∞Œ) le nombre des termes est-il pair ou impair ? On ne peut prendre parti ni d’un ni d’autre côté, qu’on ne s’expose à des objections accablantes. On pourroit dire qu’il n’est ni l’un ni l’autre en particulier, & qu’il est tous les deux ensemble. Si cela n’est pas clair, qu’on fasse attention qu’il s’agit de l’infini.

Ce qu’on ne peut au reste déterminer pour le moins, se détermine avec la plus grande facilité pour le plus. Cette autre suite (-Œ∞ . . . .-2.-1. 0. 1. 2. . . . Œ), infinie des deux côtés, est plus grande que la premiere. Or il est évident que le nombre des termes y est impair, puisqu’elle a un terme du milieu, autour duquel deux termes quelconques, pris à égales distances chacun de son côté, donnent des sommes égales entr’elles.

Il suit que, si l’on supprime le terme 0, les termes restans seront en nombre pair ; mais on n’en peut rien conclure pour le nom particulier de chacune des deux suites opposées prises séparément, parce qu’une somme paire est tout aussi-bien celle des deux impairs que de deux pairs. Article de M. Rallier des Ourmes.

Pair ou non, (Jeux d’hasard.) s’il y a quelque chose qui paroissoie communément contestable, c’est qu’au jeu de pair ou non, lorsqu’on vous présente une main fermée pleine de jettons, & que l’on vous demande si le nombre en est pair ou non-pair, il vaut autant répondre l’un que l’autre ; car certainement il y a autant de nombres pairs que d’impairs ; cette raison si simple déterminera tout le monde. Cependant à y regarder de plus près, cela ne se trouve plus ainsi, tant ces sortes de questions sur les probabilités sont délicates. M. de Mairan a trouvé qu’il y avoit de l’avantage à dire non-pair plûtôt que pair.

Les jettons, cachés dans la main du joueur qui propose le pari, ont été pris au hasard dans un certain tas, que le joueur a pû même prendre tout entier. Supposons que ce tas ne puisse être qu’impair. S’il est 3, le joueur n’y peut prendre que 1 ou 2, ou 3 jettons ; voilà donc deux cas où il prend des nombres impairs, & un seul où il prend un nombre pair. Il y a donc 2 à parier contre 1 pour l’impair, ce qui fait un avantage de ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}}$ ;. Si le tas est 5, le joueur y peut prendre trois impairs & seulement deux pairs ; il y a 3 à parier contre 2 pour l’impair, & l’avantage est d’un tiers. De même si le tas est 7, on trouvera que l’avantage de l’impair est ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{4}}}$, de sorte que tous les tas impairs, les avantages de l’impair correspondans à chaque tas, seront la suite d’${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{1}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{3}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{4}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{5}}}$, où l’on voit que le tas 1 donneroit un avantage infini ; y ayant 1 à parier contre 0, parce que les dénominateurs de toutes ces fractions diminuées de l’unité, expriment le sort du pair contre l’impair.

Si on suppose au contraire que les tas ne puissent être que pairs, il n’y aura aucun avantage ni pour le pair ni pour l’impair, il est visible que dans tous les tas pairs il n’y a pas plus de nombres pairs à prendre que d’impairs, ni d’impairs que de pairs.

Quand on joue, on ne sait si les jettons ont été pris dans un tas pair ou impair, si ce tas a été 2 ou 3, 4 ou 5, &c. & comme il a pu être également l’un ou l’autre, l’avantage de l’impair est diminué de moitié à cause de la possibilité que le tas ait été pair. Ainsi la suite ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{1}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{3}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{4}}}$, &c. devient ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{4}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{6}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{8}}}$, &c.

On peut se faire une idée plus sensible de cette petite théorie. Si on imagine un toton à 4 faces, marquées 1, 2, 3, 4, il est évident que quand il tournera, il y a autant à parier qu’il tombera sur une face paire que sur une impaire ; s’il avoit 5 faces il en auroit donc une impaire de plus, & par conséquent il y auroit de l’avantage à parier qu’il tomberoit sur une face impaire ; mais s’il est permis à un joueur de faire tourner celui de ces deux totons qu’il voudra, certainement l’avantage de l’impair, est la moitié moindre qu’il n’étoit dans le cas où le seul toton impair auroit tourné ; ce qui fait précisément le cas du jeu de pair ou non.

On voit par la suite ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{1}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{3}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{4}}}$, &c. ou par l’autre ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{4}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{6}}}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{8}}}$, que l’avantage de l’impair va toujours en diminuant, selon que les tas ou le nombre de jettons qu’on peut prendre est plus grand. La raison essentielle en est, que 1 étant toujours la différence dont le nombre des impairs excede celui des pairs dans un impair quelconque, cet 1 est toujours moindre par rapport à un plus grand nombre. Ces joueurs si rafinés, qui ont soupçonné quelque avantage pour l’impair, n’y eussent certainement pas soupçonné cette diminution.

Si l’on vouloit jouer à jeu égal, il faudroit que le joueur qui présente le pari dît si le tas où il a pris les jettons est pair ou impair ; & dans ce second cas quel impair il est. S’il est dit qu’il est pair, il n’en faut pas davantage pour savoir que le pari est égal, quelque pair que ce soit. S’il dit que le tas est impair, il faut qu’il le détermine ; par exemple 7, afin qu’on sache qu’il y a ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{4}}}$ de plus à parier pour l’impair, & que celui qui prend ce parti, mette ce ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{4}}}$ de plus que l’autre, qu’il mette 4 contre 1, alors le jeu est parfaitement égal. Nous prenons ici ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{4}}}$, avantage de l’impair, dans la premiere suite, & non dans la seconde, où il seroit ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}}$, parce que cette seconde suppose que le tas puisse être également pair ou impair, ce qui n’est pas ici.

On voit donc que si au-lieu de l’alternative d’un tas pair ou impair, on supposoit plus de possibilité à l’un qu’à l’autre, ou, ce qui revient au même, 3 tas au-lieu de 2, l’avantage du joueur qui dit non-pair, pourroit diminuer dans un cas, & augmenter dans l’autre. Il diminueroit dans le cas où il pourroit y avoir un seul des 3 tas impair contre 2 pairs ; & il augmenteroit au contraire, s’il y avoit possibilité de deux tas impairs contre un pair ; par exemple, si le joueur qui présente le pari vous disoit, que le tas sur lequel il va prendre des jettons, & où vous avez à dire pair ou non, est 6, 7, ou 8, il est évident que la seule possibilité d’un tas qui seroit 7, où l’avantage ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{4}}}$ qui s’ensuivroit à dire impair, doit être divisé par 3 à cause des trois cas possibles, ce qui donneroit ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{12}}}$ plus petit que ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{8}}}$ ; comme au contraire si les 3 tas possibles étoient 5, 6, & 7, l’avantage étant alors ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{3}}}$ dans le premier cas, 0 dans le second, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{4}}}$ dans le troisieme, on auroit ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {4}{12}}}$ plus 0, plus ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {3}{12}}}$, qui font ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {7}{12}}}$ à diviser par 3, ce qui donneroit ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {7}{36}}}$, avantage plus grand que ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{6}}}$, & par conséquent que ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{8}}}$.

De sorte que l’avantage qu’il y a à dire non-pair dans un nombre de tas possibles quelconques, ou pairs avec non-pairs, ou seulement impairs, sera toujours exprimé par la somme des avantages de chacun des cas possibles, divisée par le nombre des tas, en y comprenant les pairs, s’il y en a, lesquels donnent toujours 0 d’avantage : c’est-là la formule ou la regle générale.

On fait encore cette question, si le joueur qui présente le pari disoit, le tas dans lequel j’ai à prendre ne passera pas un certain nombre de jettons, par exemple 7 ou 12, &c. mais il pourra être plus petit à mon choix ; quel est l’avantage qu’il y a alors à dire non-pair ? Il est évident qu’il sera composé du sort ou de l’avantage de tous les tas possibles, depuis 7 ou 12 jusqu’à un inclusivement : ainsi dans la condition qu’il ne peut passer 7, la regle donnera ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{1}}}$, plus 0, plus ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}}$, divisés par 7, ce qui fait en tout ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {25}{84}}}$, près d’un tiers de la mise de celui qui dit impair. Si le plus grand tas possible avoit été 12, l’avantage eût été moindre, non-seulement parce que le nombre des tas possibles, où le diviseur eût été plus grand, mais encore parce qu’il auroit pû y avoir autant de tas pairs que d’impairs ; il y auroit donc ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {144}{720}}}$, ou environ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{6}}}$ d’avantage à dire impair dans cette supposition.

Entre toutes les objections qu’on peut faire contre l’inégalité du jeu de pair ou non, & la maniere ci donnée de l’évaluer, une des plus spécieuses est celle-ci : soit le tas de 3 jettons, selon ce qui a été dit ci-dessus, il y a deux impairs contre un pair, ou 2 contre 1 à parier pour l’impair, & partant ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}}$ d’avantage. Cela est vrai, dit-on, à l’égard d’un toton à 3 faces, marquées 1, 2, 3 ; mais il n’en est pas de même du tas des 3 jettons, car je puis prendre chacun de ces jettons seul, ce qui fait trois cas, ou tous les trois ensemble, ce qui fait un quatrieme cas, & toujours pour l’impair ; & parce que trois choses peuvent être prises deux-à-deux de trois manieres différentes, il y aura en même tems trois cas favorables pour le pair, ce qui donne à parier 4 contre 3, ou ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {3}{4}}}$ d’avantage, & non ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}}$, comme il avoit été trouvé.

Mais on doit prendre garde, que de ce que le joueur porte sa main sur le premier, le second, ou le troisieme des jettons du tas, il n’en résulte pas trois évenemens différens, en faveur de l’impair, comme de ce qu’il aura pris le second & le troisieme, ou le premier & le second, n’en fait pas deux en faveur du pair, mais un seul & même évenement, & une même attente pour les joueurs ; car dès que le hasard ou le caprice, ou quelque raison de prudence, a déterminé celui qui porte sa main sur le tas de 3 jettons, pour y en prendra un ou deux, il n’importe lequel des trois il prenne, cela ne change rien au jeu : & pour rendre ceci plus sensible, il n’y a qu’à remarquer que dans le cas où le joueur prendroit sur un tas de 2 jettons, & où l’on convient que le jeu est parfaitement égal, il y auroit inégalité, & 2 contre 1 pour l’impair, si l’objection avoit lieu, puisque par le même raisonnement il pourroit prendre seul l’un ou l’autre des deux jettons pour l’impair, & seulement tous les deux ensemble pour le pair. Le tas de 3 jettons ne donne donc pas quatre possibilités pour l’impair, par rapport au sort & à l’attente des joueurs, mais deux seulement. Les combinaisons, les changemens d’ordre, & les configurations des nombres, sont des spéculations applicables en tout ou en partie, aux questions du hasard & du jeu, selon l’hypothèse, & la loi qui en fait le fondement, & il est clair qu’ici la droite ou la gauche, & le premier & le second jetton, ne m’engagent pas plus l’un que l’autre à les prendre seuls ou accompagnés : ce sont donc des circonstances étrangeres au sort des joueurs dans la question présente.

Il y auroit plusieurs manieres d’introduire l’égalité dans le jeu de pair ou non ; celles qu’on pratique quelquefois se réduisent toutes au cas de 2 jettons, l’un blanc & l’autre noir, comme si le joueur qui présente le pari demandoit blanc ou noir. Hist. de l’acad. des Sciences, année 1728. (D. J.)