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Asymptote

Sommaire

  • Définitions du mot asymptote
  • Étymologie de « asymptote »
  • Phonétique de « asymptote »
  • Évolution historique de l’usage du mot « asymptote »
  • Citations contenant le mot « asymptote »
  • Traductions du mot « asymptote »

Définitions du mot « asymptote »

Trésor de la Langue Française informatisé

ASYMPTOTE, subst. fém.

A.− MATH. et GÉOM. Ligne droite qui s'approche indéfiniment d'une courbe sans jamais la couper, même si on les suppose l'une et l'autre prolongées à l'infini, avec une distance plus petite que toute quantité finie assignable; p. ext. branches de courbes se rapprochant indéfiniment l'une de l'autre sans se toucher. Les asymptotes de l'hyperbole (Ac. 1798-1932); ligne asymptote (Lar. 19e, Nouv. Lar. ill.); point asymptote (Lar. 19e. Nouv. Lar. ill., Quillet 1965) :
1. ... dans la démonstration des asymptotes, que personne ne révoque en doute, la raison et l'imagination sont en opposition formelle; car la raison se démontre à elle-même par le calcul que deux lignes, prolongées à l'infini et s'approchant toujours, ne peuvent jamais se rencontrer; l'imagination, au contraire, se figure nettement que deux lignes, s'approchant continuellement, doivent finir par se rencontrer en un point; ... Bonald, Législ. primitive,t. 1, 1802, p. 249.
B.− Au fig. Une chose vers laquelle on tend sans parvenir à l'atteindre :
2. ... raffinez tant qu'il vous plaira par la pensée cette âme quelconque, ce principe inconnu, cet instinct, cette lumière intérieure qui leur [aux animaux] a été donnée avec une si prodigieuse variété de direction et d'intensité, jamais vous ne trouverez qu'une asymptote de la raison, qui pourra s'en approcher tant que vous voudrez, mais sans jamais la toucher; ... J. de Maistre, Les Soirées de Saint-Pétersbourg, t. 1, 1821, p. 364.
3. La paix universelle est une hyperbole dont le genre humain suit l'asymptote. Suivre cette radieuse asymptote, voilà la loi de l'humanité. Hugo, Le Rhin,1842, p. 480.
4. Il [Casimir Périer] était, sous Charles X, comme M. Sébastiani, son collègue, un de ces libéraux qui, semblables aux asymptotes en géométrie, tendaient toujours vers un portefeuille sans y toucher, espèces de Tantales politiques. Balzac, Œuvres diverses,t. 2, 1850, p. 138.
Arg. (École polytechnique). Être asymptote à l'école :
5. Il y en a enfin [des candidats à l'École polytechnique] qui ne réussissent jamais. /... Infortunés taupins, / a dit le poète, /pourquoi tant potasser l'ellipse et l'hyperbole,/ Pour demeurer toujours asymptotes à l'école? Lévy-Pinet1894, p. 289.
PRONONC. ET ORTH. : [asε ̃ptɔt]. Ac. 1798 a une graph. asimptote, à côté de asymptote (vedette de renvoi).
ÉTYMOL. ET HIST. − [1638 Descartes d'apr. Lar. Lang. fr.]; 1668 (Journal des savants, Compte rendu, 2 juill. 1668 d'apr. P. Gason ds Fr. mod., t. 23, p. 214 : L'espace hyperbolique compris entre la courbe et une de ses asymptotes). Empr. au gr. α ̓ σ υ ́ μ π τ ω τ ο ς « qui ne s'affaisse pas » (Hippocrate ds Bailly).
STAT. − Fréq. abs. littér. : 16.
BBG. − Bouillet 1859. − Électron. 1963-64. − Esn. 1966. − Mots rares 1965. − Privat-Foc. 1870. − Sc. 1962. − Uv.-Chapman 1956.

Wiktionnaire

Adjectif

asymptote \a.sɛ̃p.tɔt\ masculin et féminin identiques

  1. (Analyse) Se dit d’une droite ou d’une courbe se rapprochant indéfiniment d’une autre courbe à l’infini.

Nom commun

asymptote \a.sɛ̃p.tɔt\ féminin

  1. (Analyse) Droite ou courbe se rapprochant indéfiniment d’une autre courbe à l’infini; en pratique, une asymptote est le plus souvent une droite dont la valeur de l'une des coordonnées (abscisse ou ordonnée) est constante, i.e. est indépendante de la valeur de la coordonnée de l'autre axe.
    • Le cas de l'équation d'une hyperbole (cf. Figure 1) est l'un des plus représentatifs du concept d'asymptote. Comme on peut le constater, l'équation y = 1/x possède quatre asymptotes. Tout d'abord, deux asymptotes verticales orthogonales se confondant avec l'axe de l'abscisse à l'origine pour des valeurs d'ordonnée tendant indéfiniment vers zéro (i.e. d'équation x = 0, quand la valeur (positive) de x de l'hyperbole s'approche infinitésimalement de zéro et donc, que la valeur de la fonction tend vers + ∞, ou d'équation x = 0 quand la valeur (négative) de x de l'hyperbole s'approche infinitésimalement de zéro et donc, que la valeur de la fonction tend vers - ∞. Ensuite, l'hyperbole possède également deux asymptotes horizontales, soit y=0, se confondant avec l'axe de l'ordonnée à l'origine, i.e. pour des valeurs d'ordonnée tendant indéfiniment vers + ∞, ou vers - ∞, respectivement (i.e. d'équation y = 0 (pour x >0), donc, quand la valeur (positive) de x de l'hyperbole s'approche infinitésimalement de + ∞ alors que la valeur de la fonction tend vers 0, ou d'équation y = 0 (pour x <0), quand la valeur (négative) de x de l'hyperbole s'approche infinitésimalement de -∞ alors que la valeur de la fonction tend alors vers 0).
    • Les asymptotes de l’hyperbole.
    • Approcher toujours, n’arriver jamais ; telle est la loi. La civilisation est une asymptote. — (Victor Hugo, Actes et paroles — Avant l’exil, chapitre Le Droit et la Loi, 1875, p. 30)

Nom commun

asymptote \ˈæs.ɪm.ˌtəʊt\ ou \ˈæs.ɪmp.ˌtəʊt\

  1. (Analyse) Asymptote.
Wiktionnaire - licence Creative Commons attribution partage à l’identique 3.0

Littré (1872-1877)

ASYMPTOTE (a-sin-pto-t') s. f.
  • Terme de géométrie. Ligne droite qui s'approche indéfiniment d'une courbe, sans pouvoir jamais la toucher. N'êtes-vous pas forcés d'admettre les asymptotes en géométrie ? Voltaire, Dial. VII, 1.

SUPPLÉMENT AU DICTIONNAIRE

ASYMPTOTE. Ajoutez :

Adj. Se dit d'une ligne ou d'une surface dont une autre ligne ou une autre surface s'approche indéfiniment, sans pouvoir jamais la toucher. Cône asymptote de l'hyperboloïde.

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Encyclopédie, 1re édition (1751)

ASYMPTOTE, Asymptotus, s. f. terme de Géométrie. Quelques auteurs définissent l’asymptote une ligne indéfiniment prolongée, qui va en s’approchant de plus en plus d’une autre ligne qu’elle ne rencontrera jamais. Voyez Ligne.

Mais cette définition générale de l’asymptote n’est pas exacte, car elle peut être appliquée à des lignes qui ne sont pas des asymptotes. Soit (fig. 20. n°. 2. sect. con.) l’hyperbole KSL ; son axe CM ; son axe conjugué AB. On sait que si du centre C, on mene les droites indéfinies CD, CE, paralleles aux lignes BS, AS, tirées du sommet S de l’hyperbole, aux extrémités de son axe conjugué : ces lignes CD, CE, seront les asymptotes de l’hyperbole KSL.

Soient tirées les paralleles fg, hi, &c. à l’asymptote CD ; il est évident que ces paralleles indéfiniment prolongées, vont en s’approchant continuellement de l’hyperbole qu’elles ne rencontreront jamais. La définition précédente de l’asymptote convient donc à ces lignes ; elle n’est donc pas exacte.

Qu’est-ce donc qu’une asymptote en général ? C’est une ligne, qui étant indéfiniment prolongée s’approche continuellement d’une autre ligne aussi indéfiniment prolongée, de maniere que sa distance à cette ligne ne devient jamais zéro absolu, mais peut toûjours être trouvée plus petite qu’aucune grandeur donnée.

Soit tirée la ligne Nopq perpendiculairement à l’asymptote CD, & à ses paralleles fg, hi &c. il est évident que l’asymptote CD peut approcher de l’hyperbole, plus près que d’aucune grandeur donnée ; car la propriété de l’asymptote CD consiste en ce que le produit de Cp par pq est toûjours constant ; d’où il s’ensuit que Cp augmentant à l’infini, pq diminue aussi à l’infini : mais la distance des paralleles fg, hi à cette courbe sera toûjours au moins de np, de op, &c. & par conséquent ne sera pas plus petite qu’aucune grandeur donnée. Voyez Hyperbole.

Le mot asymptote est composé de privatif, de σύν, avec, & de πίπτω, je tombe ; c’est-à-dire, qui n’est pas co-incident, ou qui ne rencontre point. Quelques auteurs Latins ont nommé les asymptotes, lineæ intactæ.

Certains Géometres distinguent plusieurs especes d’asymptotes ; il y en a, selon ces auteurs, de droites, de courbes, &c. Ils distribuent les courbes en concaves, convexes, &c. & ils proposent un instrument pour les tracer toutes : le mot d’asymptote tout court ne désigne qu’une asymptote droite.

L’asymptote se définit encore plus exactement une ligne droite, qui étant indéfiniment prolongée, s’approche continuellement d’une courbe, ou d’une portion de courbe aussi prolongée indéfiniment, de maniere que sa distance à cette courbe ou portion de courbe ne devient jamais zéro absolu, mais peut toûjours être trouvée plus petite qu’aucune grandeur donnée.

Je dis 1°. d’une courbe ou d’une portion de courbe, afin que la définition convienne, tant aux courbes serpentantes qu’aux autres.

Car la ligne fgh, (fig. 20. n°. 3.) ne peut être considérée comme l’asymptote de la courbe serpentante mnoprs, que quand cette courbe a pris un cours réglé relativement à elle ; c’est-à-dire un cours, par lequel elle a été toûjours en s’en approchant.

Je dis 2°. que la distance de l’asymptote à la courbe peut toûjours être trouvée moindre qu’aucune grandeur donnée ; car sans cette condition, la définition conviendroit à l’asymptote, & à ses paralleles. Or une définition ne doit convenir qu’à la chose définie.

On dit quelquefois que deux courbes sont asymptotes l’une à l’autre, lorsqu’indéfiniment prolongées elles vont en s’approchant continuellement, sans pouvoir jamais se rencontrer. Ainsi deux paraboles de même parametre, qui ont pour axe une même ligne droite, sont asymptotes l’une à l’autre.

Entre les courbes du second degré, c’est-à-dire entre les sections coniques, il n’y a que l’hyperbole qui ait des asymptotes.

Toutes les courbes du troisieme ordre ont toûjours quelques branches infinies, mais ces branches infinies n’ont pas toûjours des asymptotes ; témoins les paraboles cubiques, & celles que M. Newton a nommées paraboles divergentes du troisieme ordre. Quant aux courbes du quatrieme, il y en a une infinité, qui non-seulement n’ont pas quatre asymptotes, mais qui n’en ont point du tout, & qui n’ont pas même de branches infinies, comme l’ellipse de M. Cassini. Voyez Courbe, Branche, Ellipse, &c.

La Conchoïde, la Cissoide, & la Logarithmique qu’on ne met point au nombre des courbes géométriques ont chacune une asymptote. Voyez Courbe.

L’asymptote de la conchoïde est très-propre pour donner des notions claires de la nature des asymptotes en général. Soit (Planch. de l’Analys. fig. premiere) MMAM une portion de conchoïde, C le pole de cette courbe, & BR une ligne droite au-delà de laquelle les parties QM, EA, QM, &c. des droites tirées du pole C, sont toutes égales entr’elles. Cela posé, la droite BR sera l’asymptote de la courbe. Car la perpendiculaire MI étant plus courte que MO & MR plus courte que MQ, &c. il s’ensuit que la droite BD va en s’approchant continuellement de la courbe MMAM ; desorte que la distance MR va toûjours en diminuant, & peut être aussi petite qu’on voudra, sans cependant être jamais absolument nulle. Voyez Divisibilité, Infini, &c. Voyez aussi Conchoide.

On trace de la maniere suivante les asymptotes de l’hyperbole. Soit (Planch. des sect. coniq. fig. 20) une droite DE tirée par le sommet A de l’hyperbole, parallele aux ordonnées Mm, & égale à l’axe conjugué de ; en sorte que la partie AE soit égale à la moitié de cet axe, & l’autre partie DA égale à l’autre moitié. Les deux lignes tirées du centre C de l’hyperbole par les points D & E, savoir CF & CG, seront les asymptotes de cette courbe.

Il résulte de tout ce que nous avons dit jusqu’ici, qu’une courbe peut avoir dans certains cas pour asymptote une droite, & dans d’autres cas une courbe. Toutes les courbes qui ont des branches infinies, ont toûjours l’une ou l’autre de ces asymptotes ; & quelquefois toutes les deux ; l’asymptote est droite, quand la branche infinie est hyperbolique ; l’asymptote est courbe, lorsque la branche infinie est parabolique, & alors l’asymptote courbe est une parabole d’un degré plus ou moins élevé. Ainsi la théorie des asymptotes des courbes dépend de celle de leurs branches infinies. Voyez Branche.

Une courbe géométrique ne peut avoir plus d’asymptotes droites qu’il n’y a d’unités dans l’exposant de son ordre. Voyez Stirling, Enum. lin. 3i. ord. prop. VI. cor. 7. & l’Introduction à l’analyse des Lignes courbes, par M. Cramer, p. 344. art. 147. Ce dernier ouvrage contient une excellente théorie des asymptotes des courbes géométriques & de leurs branches, chap. viii.

Si l’hyperbole GMR, fig. 12. est une des courbes dont la nature exprimée par l’équation aux asymptotes soit renfermée dans l’équation générale  ; tirez la droite PM, partout où vous voudrez, parallele à l’asymptote CS ; achevez le parallélogramme PCOM. Ce parallélogramme sera à l’espace hyperbolique PMGB, terminé par la ligne PM, par l’hyperbole indéfiniment continuée vers G, & par la partie PB de l’asymptote indéfiniment prolongée du même côté, comme m-n est à n. Ainsi lorsque m sera plus grand que n, l’espace hyperbolique sera quarrable. Si m=n, comme dans l’hyperbole ordinaire, le parallélogramme PCOM sera à l’espace hyperbolique comme zéro est à 1. c’est-à-dire, que cet espace sera infini relativement au parallélogramme, & par conséquent non quarrable. Enfin si m est moindre que n, le parallélogramme sera à l’espace hyperbolique comme un nombre négatif à un nombre positif, l’espace PMGB sera infini, & l’espace MPCE sera quarrable. Voyez la fin du cinquieme livre des sections coniques de M. le marquis de l’Hôpital. Voyez aussi un mémoire de M. Varignon imprimé en 1705. parmi ceux de l’Académie Royale des Sciences, & qui a pour titre Réflexions sur les espaces plus qu’infinis de M. Wallis. Ce dernier Géometre prétendoit que l’espace MPGB, étant au parallélogramme comme un nombre positif à un nombre négatif, l’espace MPGB étoit plus qu’infini. M. Varignon censure cette expression, qui n’est pas sans doute trop exacte. Ce qu’on peut assûrer avec certitude, c’est que l’espace PMGB est un espace plus grand qu’aucun espace fini, & par conséquent qu’il est infini.

Pour le prouver, & pour rendre la démonstration plus simple, faisons a=1, & nous aurons l’équation ou . (Voyez Exposant.) Donc ydx, élément de l’aire , dont l’intégrale (Voyez Intégral) est  ; pour compléter cette intégrale, il faut qu’elle soit =0 lorsque x=0 ; d’où il s’ensuit que l’intégrale complete est . Donc 1°. Si m < n, on a égal à une quantité positive. Ainsi l’intégrale se réduit à qui représente l’espace ECPM, d’où l’on voit que cet espace est fini tant que x est fini, & que quand x devient infini, l’espace devient infini aussi. Donc l’espace total renfermé par la courbe & ses deux asymptotes, est infini ; & comme l’espace ECPM est fini, il s’ensuit que l’espace restant PMGB est infini.

Il n’y a que l’hyperbole ordinaire où les espaces PMGB, ECPM, soient tous deux infinis ; dans toutes les autres hyperboles l’un des espaces est infini, & l’autre fini ; l’espace infini est PMGB dans le cas de m < n, & dans le cas de m > n c’est PMCE. Mais il faut observer de plus que dans le cas de m < n, l’espace infini PMGB est plus grand en quelque maniere que celui de l’hyperbole ordinaire, quoique l’un & l’autre espace soient tous deux infinis ; c’est-là sans doute ce qui a donné lieu au terme plus qu’infini de M. Wallis. Pour éclaircir cette question, supposons CP=1 & PM=1, & imaginons par le point M une hyperbole équilatere entre les deux asymptotes CB, CE, que je suppose faire ici un angle droit ; ensuite par le même point M décrivons une hyperbole, dont l’équation soit , m étant < n, il est visible que dans l’hyperbole ordinaire , & que dans celle-ci  ; d’où l’on voit que x étant plus grand que 1, c’est-à-dire que CP, l’ordonnée correspondante de l’hyperbole ordinaire, sera plus petite que celle de l’autre hyperbole. En effet, si x est plus grand que 1, & que soit < 1, il s’ensuit que sera > , puisque m étant < n, on a , lorsque x est plus grand que 1. D’où il s’ensuit que & ou ou . Donc l’espace PMGB de l’hyperbole représentée par , renfermera l’espace de l’hyperbole ordinaire représentée par l’équation xy=1, & ayant la même ordonnée PM. Ainsi, quoique ce dernier espace soit infini, on peut dire que l’autre, qui est infini à plus forte raison, est en quelque maniere un infini plus grand. Voyez à l’article Infini, la notion claire & nette que l’on doit se former de ces prétendus infinis plus grands que d’autres.

Soit MS, fig. 33. une logarithmique, PR son asymptote, PT sa soûtangente, & PM une de ses ordonnées. L’espace indéterminé RPMS sera égal à PM x PT ; & le solide engendré par la révolution de la courbe autour de son asymptote VP, sera égal à la moitié du cylindre, qui auroit pour hauteur une ligne égale à la soûtangente, & pour demi-diametre de sa base, une ligne égale à l’ordonnée QV. Voyez Logarithmique.

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Étymologie de « asymptote »

Du grec ancien ἀσύμπτωτος, asúmptôtos (« qui ne s’affaisse pas », « qui ne s’écroule pas », « qui ne coïncide pas »).
Wiktionnaire - licence Creative Commons attribution partage à l’identique 3.0

Ἀσύμπτωτος, de ἀ privatif, et de σύμπτωτος, coïncidant : ligne qui ne coïncide pas (voy. SYMPTÔME).

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Phonétique du mot « asymptote »

Mot Phonétique (Alphabet Phonétique International) Prononciation
asymptote asɛ̃ptɔt

Évolution historique de l’usage du mot « asymptote »

Source : Google Books Ngram Viewer, application linguistique permettant d’observer l’évolution au fil du temps du nombre d'occurrences d’un ou de plusieurs mots dans les textes publiés.

Citations contenant le mot « asymptote »

  • Vous enchaînez les entraînements et vos sorties se ressemblent un peu. Comme chez beaucoup de coureurs de loisir, votre éventail de vitesse est limité. Vous avez pas mal progressé au début mais désormais vous stagnez ! Vos adaptations métaboliques ont d’abord suivi une belle courbe ascendante mais elles plafonnent maintenant sur une asymptote décourageante ! Pour vous améliorer, vous devez surprendre votre organisme ! Il faut varier les thèmes de vos séances ! Et chaque séance doit être centrée sur un thème !   Docdusport, Evitez les kilomètres inutiles! - Docdusport
  • • Honte de l’auteur • Eloge de la grammaire • Elle est semblable au parapluie • A l’asymptote • A l’horizon • Et même aux progrès de l’industrie • Illusion de savoir la grammaire • Impossibilité de l’apprendre • L’homme meurt en choquant la syntaxe • Tant pis pour elle • Science imbattable des correcteurs • Histoire touchante du correcteur aveugle • Histoire étrange du grammairien considérable • La grammaire prouve qu’il ne faut pas se servir d’elle • Désespoir de cause • Frais babil • Beau trait de grammaire d’un enfant en bas âge • La jeunesse ramasse le flambeau • La civilisation est sauve • Grandeur consécutive d’Allah. www.lejdc.fr, Redécouvrir Alexandre Vialatte : Chronique des difficultés de la langue française - Paris (75000)

Traductions du mot « asymptote »

Langue Traduction
Anglais asymptote
Espagnol asíntota
Italien asintoto
Allemand asymptote
Chinois 渐近线
Arabe خط مقارب
Portugais assíntota
Russe асимптота
Japonais 漸近
Basque asintota
Corse asimptotu
Source : Google Translate API
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